■高次元図形の研究法(その36)

 単純多面体に対して

  fk=Σ(0,k)(−1)^j(n−j,n−k)fj

が成り立つ.0≦j≦k

 k=nのときがオイラー関係式

  fn=Σ(0,n)(−1)^jfj

である.

 k=0のとき,f0=f0

k=1のとき,f1=nf0−f1

k=2のとき,f2=n(n−1)/2f0−(n−1)f1+f2

k=3のとき,f3=n(n−1)(n−2)/6f0−(n−1)(n−2)/2f1+(n−2)f2−f3

k=4のとき,f4=n(n−1)(n−2)(n−3)/24f0−(n−1)(n−2)(n−3)/6f1+(n−2)(n−3)/2f2−(n−3)f3+f4

k=5のとき,f5=n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/120f0−(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/24f1+(n−2)(n−3)(n−4)/6f2−(n−3)(n−4)/2f3+(n−4)f4−f5

k=6のとき,f6=n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)/720f0−(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)/120f1+(n−2)(n−3)(n−4)(n−5)/24f2−(n−3)(n−4)(n−5)/6f3+(n−4)(n−5)/2f4−(n−5)f5+f6

 単純多面体に対して

  f0=f0

  2f1=nf0

  2f3=n(n−1)(n−2)/6f0−(n−1)(n−2)/2f1+(n−2)f2

  2f5=n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/120f0−(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/24f1+(n−2)(n−3)(n−4)/6f2−(n−3)(n−4)/2f3+(n−4)f4

2f2k+1=Σ(0,2k)(−1)^j(n−j,2k+1−j)fj

であることが確認された.

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