■高次元図形の研究法(その33)

【1】デーン・サマービル関係式

 n次単体的多面体に対しては,デーン・サマービル関係式

  (−1)^(n-1)fk=Σ(k,n-1)(−1)^j(j+1,k+1)fj

が成り立つ.

  −1≦k≦n−1

であるが,k=n−1の場合は自明.k=−1の場合はf-1=fn=1とみなせば,オイラーの関係式になる.

 また,このデーン・サマービル関係式の書き方はいくつかあるが

  Σ(0,k)(−1)^k-j(n−j,n−k)fj-1=Σ(0,n-k)(−1)^n-k-j(n−j,k)fj-1

  fk-1=Σ(k,n)(−1)^n-j(j,k)fj-1

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 単体的多面体に対して

  fn-1=fn-1

  2fn-2=nfn-1

  2fn-4=(n−2)fn-3−(n−1)(n−2)/2fn-2+n(n−1)(n−2)/6fn-3

  2fn-6=(n−4)fn-5−(n−3)(n−4)/2fn-4+(n−2)(n−3)(n−4)/6fn-3−(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/24fn-2+n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/120fn-1

2fn-2k-2=Σ(0,2k)(−1)^j(n−j,2k+1−j)fn-j-1

が成り立つ.

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