（問）互いに平行な２つの円形の枠に石けん膜を張ったとき，その形は？

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（答）この問題は「y=f(x)>0のグラフをｘ軸を中心に回転させてできる曲面の面積を最小にしたい」と等価です．曲面の面積は

　　S[y]=2π∫y(1+(y')^2)^1/2dx

で与えられます．懸垂線（カテナリー）の問題を変分法によって解いたのはベルヌーイであったのですが，これは懸垂線で考えた位置エネルギーの２π倍ですから，解は懸垂線を回転させたものであることが導かれます．

f(x)=cosh(αx)/α が解である

ただし,x>0におけるy=coshx/xの最小値はおよそ1.5088である．したがって，この値よりもyが小さかったら解はない．1.5088=1/0.6627

針金でできた半径１の２つの輪があるとき，その間隔が１．３２５４よりも小さければカテノイドができ，大きければできない．

αが存在しないときには汎関数自体が存在しない。変分法では存在自体が問題になるのである。

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　f(x)/x=cosh(αx)/αx

x=1,f(x)=1.8で計算してみると、α=0.695,α=1.90という２つの解が得られる。対応するカテノイドを描いてみるとα=1.90は面積最小を与えるが、α=0.695は最小を与えない。出てきたものがすべて最小を与えるとは限らない。最小となるための必要条件を追求してきただけなのである。

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