２００５年のコラム「高次元の準正多胞体」の記述には誤りも多く、また、ワイソフ構成についての理解の足りないところが見受けられる。訂正してみたい。

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　準正多胞体とは，母体となる正多胞体と同じ回転対称性と鏡映対称性をもち，２種類の胞が各頂点と各辺の周りに一定の状態で集まる多胞体である．ｎ次元正多胞体において，ｎ−１次元側胞以外の構成要素の中心を頂点とする多胞体がｎ次元準正多胞体となる（ｎ−１次元側胞以外の構成要素の中心を頂点とする多胞体はｎ次元正多胞体の双対図形である）．準正多胞体は外接ｎ次元球と稜接ｎ次元球をもつ．

　４次元の準正多胞体では，ひとつの正多胞体からそれに双対な正多胞体に至るまで

　　(1)その頂点と辺の中点との間にあるもの(1100)

　　(2)辺の中点にあるもの(0100)

　　(3)辺の中点と側面の中心の間にあるもの(0110)

　　(4)側面の中心にあるもの(0010)

　　(5)側面の中心と胞の中心の間にあるもの(0011)

の５段階の（広義の）準正多胞体があることになる．・・・この記述は、切頂型のみでそれ以外(1110),(1101),(1111),(0110),(0101),(0111),(1010),(1011)を考えていないことになる。

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　４次元多胞体は正（５，８，１６，２４，１２０，６００）胞体の６種類ある．

　　　　　　境界多面体　　頂点数　　双対性　　　　　　　　　３次元対応

５胞体　　　正４面体　　　　　５　　自己双対（非中心対称）　正４面体

８胞体　　　立方体　　　　　１６　　１６胞体と双対　　　　　立方体

１６胞体　　正４面体　　　　　８　　　８胞体と双対　　　　　正８面体

２４胞体　　正８面体　　　　２４　　自己双対（中心対称）

１２０胞体　正１２面体　　６００　　６００胞体と双対　　　　正１２面体

６００胞体　正４面体　　　１２０　　１２０胞体と双対　　　　正２０面体

　正２４胞体に相当する３次元正多面体はない．なぜかというと，正２４胞体は自己双対かつ中心対称であり，３次元空間でそれに対応する正多面体はないからである．すなわち，正２４胞体（２４胞，正３角形のみからなる９６面，９６辺，２４頂点）こそが，四次元特有の物体であると考えられるのであるが，正２４胞体は，四次元空間で三次元空間の立方体にあたる正八胞体（８胞，２４面，３２辺，１６頂点）と正八面体にあたる正十六胞体（１６胞，３２面，２４辺，８頂点）を重ねてできることから，その意味で４次元版の菱形十二面体に相当するものである．

　４次元の準正多胞体では，ひとつの正多胞体からそれに双対な正多胞体に至るまで５段階の準正多胞体があることは前述したが，自己双対な正５胞体と正２４胞体では本質的に３段階の変化があるのみである．正８胞体（４次元立方体）では５段階を経過して双対図形の正１６胞体に変化するが，稜に中点に頂点を置くものはは正２４胞体に一致する．正１２０胞体は５段階を経過して双対図形の正６００胞体に変化する．

　４次元空間の場合，稜の中点に頂点を置くもの(0100)，側面の中心に頂点を置くもの(0010)が狭義の「準正多胞体」である．ここでは狭義の意味で用いることにするが，側面の中心に頂点を置くものはその双対多胞体の稜の中点に頂点を置くものと一致するから，結局，４次元の狭義の準正多胞体は正（５，８，２４，１２０，６００）胞体のそれぞれの稜の中点に頂点を置く５種類あることになる．

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