正多面体が５種類（正４面体，立方体，正８面体，正１２面体，正１２面体）しか存在しないことはギリシャ以来知られてきた．自然界の複雑さ・深遠さの一方で，古代の人々は５種類しか存在しない正多面体に神の摂理を見ていたのである．

　のちに，方程式の根の置換群が正多面体群となるものを研究していたクラインは「正２０面体と５次方程式」の中で正多面体群と方程式論が交差する美しい小宇宙を論じている．また，クラインは３次元空間内の回転対称図形は巡回群か，二面体群か，３種類の正多面体群（正四面体群，正八面体群，正二十面体群）のどれかに分類できることを証明した．

　正四面体系（正５胞体系）と正八面体系（正１６胞体系）は任意のｎ次元空間に拡張されるが，正二十面体系（正６００胞体系）は３次元と４次元空間のみ，正２４胞体系は４次元空間にのみ存在する．

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【１】基本単体

（問）１つの３角形を辺に関して次々折り返していって，３角形が互いに重なることなく，平面を埋めつくすことができるか？

（答）２次元図形の基本単体は

　　（６，６，６）　→　正三角形

　　（４，８，８）　→　直角二等辺三角形

　　（４，６，１２）　→　３０°，６０°，９０°の三角形

　　（３，１２，１２）→　３０°，３０°，１２０°の三角形

の４通りある．

　それでは３次元図形の基本単体はどうかということになりますが，その前に一般的なｎ次元図形の基本単体を考えてみます．ｎ次元空間の正多胞体とは「ｎ個の超平面に囲まれ，全体の中心ｏnから各頂点ｏ0，各辺の中点ｏ1，各面の中心ｏ2，・・・，各超辺の中心ｏn-2，各超平面の中心ｏn-1までの距離がそれぞれ相等しく，そのｍ次元成分はすべてｍ次元の正多胞体である」と定義されます．

　このとき，ｏnｏn-1・・・ｏ1ｏ0を結んだｎ次元単体を「基本単体」と呼びます．ｏ0ｏ1，ｏ1ｏ2，・・・，ｏn-1ｏnは互いに直交するので，ｎ次元正多胞体の諸量を計算するための基本となっています．基本単体は万華鏡のように隣同士が互いに鏡像形で，半分ずつが互いに合同です．

　基本単体の個数ｇは正多胞体にとって最も大切な基本量です．基本単体は隣同士が鏡像形であり，半分ずつが互いに合同であることより，３次元正多面体の基本単体の個数は

　　ｇ＝２ｐｆ＝２ｑｖ＝４ｅ

すなわち，正多面体の辺の個数ｅの４倍と等しくなります．

　　正４面体（自己双対）　　　　　　→　２４

　　正６面体（正８面体と双対）　　　→　４８

　　正１２面体（正２０面体と双対）　→　１２０

　基本領域は超球面上，または，ユークリッド空間内の単体になるのですが，それに応じて有限群（正多面体）か離散無限群（空間充填形）になります．ちなみに

　　正５胞体（自己双対）　　　　　　　　→　１２０

　　正８胞体（正１６胞体と双対）　　　　→　３８４

　　正２４胞体（自己双対）　　　　　　　→　１１５２

　　正１２０胞体（正６００胞体と双対）　→　１４４００

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【２】ワイソフ構成

　３次元正多面体の基本単体を外接球面上に投影すると，合同な三角形（シュワルツの三角形）を描きます．

　　正４面体（自己双対）　　　　　　→　球面２４面体

　　正６面体（正８面体と双対）　　　→　球面４８面体

　　正１２面体（正２０面体と双対）　→　球面１２０面体

　この球面多面体上に１点をとり，すべての稜に関して鏡映すると，それぞれの正多面体群の回転対称性と鏡映対称性をもつ多面体の頂点が得られます．このような構成法をワイソフ構成と呼びます．

　基準点の取り方は単位三角形の内部にあるか，３辺のうちどの上にあるか，３頂点のうちどの上にあるかの７種類あります．７種類の位置に応じてですが，たとえば単位三角形の内部にある場合は[111]で与えられます．切頂８面体は正４面体系の[111]です（Ｖ＝２４，Ｅ＝３６，Ｆ＝１４）

　４次元正多胞体で得られる単位４面体については，内部にあるか，４面のうちどの上にあるか，６辺のうちどの上にあるか，４頂点のうちどの上にあるかの１５種類あり，１５種類のいずれかに決めればすべての頂点の位置を決定することができます．コラム「４次元図形の基礎雑学（その２）」に掲げた切頂八面体(466)×１０と正六角柱(644)×２０からなる４次元空間充填図形

　　Ｖ＝１２０，Ｅ＝２４０，Ｆ＝１５０，Ｃ＝３０

　　１つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×２，(644)×２

は正５胞体系の[1111]ということになります．

　なお，正１２０胞体の６００個の頂点をうまくとると，他の４次元正多胞体（正５，８，１６，２４，６００胞体）がすべて作れるので，その意味で正１２０胞体は４次元の万能正多面体です．３次元の正十二面体はその頂点から正四面体，正六面体を作ることができますが，正八面体や正二十面体を作ることはできません．

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　同様に，ｎ次元正多胞体で得られる単位ｎ＋１胞体については，２^n−１種類の構成要素ののどこにあるかを決めればすべての頂点の位置を決定することができます．

　ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．たとえば，正単体では

　　ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．同様に，双対立方体では

　　ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n

立方体では

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ

となります．

　もちろん，

　　正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　双対立方体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．

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【３】平行多面体による空間充填

　３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみです．１種類の正多胞体による空間充填形をまとめると，平面充填形３種類，３次元空間充填形１種類，４次元空間充填３種類，５次元以上の空間充填形は１種類ということになります．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩です．

　１種類の平行多面体による３次元空間の周期的充填図形は，立方体，正六角柱，切頂八面体，菱形十二面体，長菱形十二面体の５種類あります．規則的なｎ次元平行多胞体は，ｎ次元立方体[0･･･01]，ｎ次元切頂八面体[1･･･10]，正ｎ＋１胞体系の[1･･･1]，正２^n胞体系の[1･･･1]があり，これらは１種類あるいは何種類かを混合させた形でｎ次元空間を周期的に充填します．

　３次元空間の場合，正８面体を切頂すると切頂８面体ができ単独空間充填図形となりますが，４次元切頂１６胞体の場合は４次元立方体と混在させないと空間充填できません．一般のｎ（≧４）次元において，３次元立方体と切頂８面体の組合せた切頂２^n胞体とｎ次元立方体を混在させたｎ次元空間充填図形が存在します．

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