２次元空間充填図形の基本形は正六角形，３次元空間充填図形の基本形は切頂八面体です．菱形十二面体，立方体，正六角柱などの空間充填図形は切頂八面体の辺を点に縮めて退化させたものと考えられます．

　このことの４次元版を考えると，３０胞体が基本形となるのですが，この図形は１０個の切頂八面体(466)と２０個の正六角柱(644)からなります．

　→コラム「ボロノイ細胞と平行多面体（その２）」

　ボロノイベクトルのアイディアを用いると，ｎ次元空間充填図形の基本形は２（２^n−１）面体になることがイメージできるようになりました．ボロノイベクトルは簡単なアイディアなので，いったんイメージできるようになると，これらのことが確信されます．

　ところで，４次元３０胞体は他にもいくつかあると思われるのですが，乙部融朗住職にこの辺の事情についてご教示していただきました．

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【１】準正多体胞目録

　オトベ著：準正多体胞目録（２４１種）より，４次元３０胞体は１０種抜粋されました．発見順に

点 線 壁 体 射 葉 吊

# 31(1978/03/06) 20 60 70 30 6 12 8　単胞体離，正4/3434/正8，三層胞

# 35(1979/08/25) 10 40 60 30 8 18 12　単胞深端欠，裏胞

# 97(1983/11/26) 60 150 120 30 5 8 5　単胞浅端欠，6壁離

#115(1983/12/06) 120 240 150 30 4 6 4　単胞深端欠，△壁離後6再壁離

#135(1984/05/03) 18 72 78 30 8 14 8　△拗台，２×△環→小拗柱

#159(1988/08/03) 24 72 78 30 6 12 8　□＆◇，３環

#164(1988/10/01) 32 128 126 30 8 12 6　24胞の体壁2ツを□に変化，非正△

#191(1990/04/29) 40 100 90 30 5 9 6　6吊柱，F=0･6･0，N=5環

#195(1990/04/29) 40 100 90 30 5 9 6　6吊柱，F=2･2･2，N=5環

#217(1990/04/29) 48 120 102 30 5 9 6　6吊柱，F=0･2･8，N=3環

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　３次元・４次元・５次元の図形で２辺角・２面角・２体角の和が２πとなってフラットになったとき，２次元・３次元・４次元の無限充填図形となります．大筋は立方格子を基にして導出され，１次元上での考察をしなければなりません．５次元では正形のみのものは｛４，３，３，３｝立方格子，｛３，３，４，３｝偶胞充填，｛３，４，３，３｝２４胞充填の３つです．

　４次元の立方格子を端欠すると

　　　　　　　　　正　　　　浅端欠　　　　中端欠　　　深端欠

変形体　　　　　立方　　　　３８８　　　３４３４　　　４６６

点生体　　　　　　　　　　　　正８　　　　正８　　　　４６６

　　　　　　　１体種Ａ　　　２体種Ｂ　　２体種Ｃ　　　１体種Ｂ

射・葉・吊　６・１２・８　５・８・５　８・１２・６　４・６・４

　３次元の空間充填は準正形を含むものも入れて１２種類あります．

１体種型　２ツ 射・葉・吊

２体種型　４ツ ４・６・４　　　　４ツ

３体種型　５ツ ５・８・５　　　　３ツ

４体種型　１ツ ６・９・５　　　　２ツ

６・１２・８　　　１ツ

８・１２・６　　　１ツ

１２・２４・１４　１ツ

　４・６・６の双対は４集項を僅かに高くすると菱形１２面体になるので，この変形で隙間が埋まり空間充填形になります（オトベ）．

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【２】ｎ次元空間充填

　　#115(1983/12/06) 120 240 150 30 4 6 4

が切頂八面体(466)×１０と正六角柱(644)×２０からなる４次元空間充填図形である．

　　Ｖ＝１２０，Ｅ＝２４０，Ｆ＝１５０，Ｃ＝３０

　　１つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×２，(644)×２．

［補］正多面体（ｐ，ｑ）を境界多面体とする４次元正多胞体では，頂点に集まる辺の中点を結んでできる多面体を頂点図形（ｖ2，ｅ2，ｆ2）と呼ぶことにすると，それはｑ角形が１つの辺にｒ面会した多面体（ｑ，ｒ）になっている．

　　（ｖ2，ｅ2，ｆ2）　→　射・葉・吊

　　ｖ2＝４，ｅ2＝６，ｆ2＝４

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　ｎ次元正多胞体が（ｎ−１）次元胞を共有しあいながら各（ｎ−２）次元構成要素の周りに一定の状態で集まって，ｎ次元空間を隙間なく埋め尽くすことがある．たとえば，３次元空間内において立方体｛４，３｝が面を共有しあいながら各辺の周りに４個ずつ集まると３次元立方格子｛４，３，４｝になる．

　４次元空間において正多胞体｛ａ，ｂ，ｃ｝が胞を共有しあいながら各面の周りにｄ個ずつ集まる４次元空間充填図形を｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ｝と書くことにすると，これには４次元立方格子｛４，３，３，４｝，正１６胞体格子｛３，３，４，３｝，正２４胞体格子｛３，４，３，３｝の３種類がある．

　３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩である．

　また，２種類以上の正多胞体の組み合わせで各辺の周りに一定の状態で集まる空間充填としては，３次元空間内において正４面体と正８面体が交互に集まるものがあるが，この４次元版は正１６胞体単独による空間充填｛３，３，４，３｝となってしまう．４次元以上の空間で２種類以上の正多胞体の組み合わせによる空間充填図形は存在しないことになる．

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　ｎ次元準正多胞体でも，１種類だけあるいは２種類以上を混在させた形で（ｎ−１）次元胞を共有しながらｎ次元空間を隙間なく埋め尽くすことがある．３次元空間では立方格子｛４，３，４｝を作り，各頂点の周りを少しずつ削っていくと切頂８面体による空間充填になり，各頂点の周りに４個ずつ切頂８面体が集まる．

　４次元空間の場合，４次元立方格子｛４，３，３，４｝，正１６胞体格子｛３，３，４，３｝，正２４胞体格子｛３，４，３，３｝の各頂点の周りを少しずつ削っていくことになる．

　４次元立方格子｛４，３，３，４｝を切断した場合の１種類だけの準正多胞体による４次元空間充填図形として，正６角柱２０個と切頂８面体１０個からなる３０胞体がある．この場合，各頂点の周りに５個ずつ３０胞体が集まる．一般に，３次元の切頂８面体（１４面体），４次元の３０胞体のｎ次元版空間充填図形は，正６角柱と切頂８面体の組み合わせによるもので，各頂点の周りにｎ＋１個ずつ集まる．

　３次元正８面体に相当するのが４次元正１６胞体である．正８面体は空間充填図形ではないが正１６胞体は空間充填図形であって，格子状配列が可能である．正１６胞体格子｛３，３，４，３｝を切断した場合は３次元立方体と切頂８面体の組み合わせた準正多胞体ができる．

　３次元空間の場合，正８面体を切頂すると切頂８面体ができ単独空間充填図形となるが，４次元切頂１６胞体の場合は４次元立方体と混在させないと空間充填しない．４次元図形の落とし穴である．

　一般のｎ（≧４）次元において，３次元立方体と切頂８面体の組合せた切頂２^n胞体とｎ次元立方体を混在させたｎ次元空間充填図形が存在する．

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