■単体の体積(その86)

【1】六斜術

 「六斜術」とは平面三角形ABCの6本の線分間の等式を意味する「和算用語」です.平面三角形ABCにおいて,BC=a,CA=b,AB=cとおき,平面上の点Pに対してPA=d,PB=e,PC=fとするとき

  a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2−a^2−d^2)

 +b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2−b^2−e^2)

 +c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2−c^2−f^2)

 =a^2b^2c^2+a^2e^2f^2+d^2b^2f^2+d^2e^2c^2

が成立します.一見複雑ですが,左辺は相対する線分の2乗の積に,他の線分の2乗の和から自分自身の2乗を引いた量をかけた和

  a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2−a^2−d^2)

 +b^2e^2(c^2+a^2+f^2+d^2−b^2−e^2)

 +c^2f^2(a^2+b^2+d^2+e^2−c^2−f^2)

であり,右辺は4個の三角形の周辺3本の2乗の積の和

  a^2b^2c^2+a^2e^2f^2+d^2b^2f^2+d^2e^2c^2

です.

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【2】アイゼンシュタイン三角形とフェルマー点

このとき、

e^2+ef+f^2=a^2

f^2+fd+d^2=b^2

d^2+de+e^2=c^2

が成り立つとしてd、e、fの簡単な形に表すことができるだろうか?

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  a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2−a^2−d^2)=d^2(e^2+ef+f^2)(d^2+e^2+f^2+de−ef+fd)

=d^2(e^2+ef+f^2)(e^2−ef+f^2+d(d+e+f))

a^2e^2f^2=e^2f^2(e^2+ef+f^2)

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2b=a+c

a^2+b^2+c^2=2(d^2+e^2+^2)+(de+ef+fd)

3(b^2+g^2)=2(d^2+e^2+f^2)+(de+ef+fd),d,e,fは3の倍数

  a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2)=a^2d^2(f^2+fd+d^2+d^2+de+e^2+e^2+f^2-e^2-ef-f^2-d^2)

  a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2)=a^2d^2(d^2+e^2+f^2+de-ef+fd)

やはり展開するしかないようだ・・・

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