【１】六斜術

　「六斜術」とは平面三角形ＡＢＣの６本の線分間の等式を意味する「和算用語」です．平面三角形ＡＢＣにおいて，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとおき，平面上の点Ｐに対してＰＡ＝ｄ，ＰＢ＝ｅ，ＰＣ＝ｆとするとき

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

が成立します．一見複雑ですが，左辺は相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

であり，右辺は４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和

　　ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

です．

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【２】アイゼンシュタイン三角形とフェルマー点

このとき、

ｅ^2＋ｅｆ＋ｆ^2＝ａ^2

ｆ^2＋ｆｄ＋ｄ^2＝ｂ^2

ｄ^2＋ｄｅ＋ｅ^2＝ｃ^2

が成り立つとしてｄ、ｅ、ｆの簡単な形に表すことができるだろうか？

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　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）＝ｄ^2（ｅ^2＋ｅｆ＋ｆ^2）（ｄ^2＋ｅ^2＋ｆ^2＋ｄｅ−ｅｆ＋ｆｄ）

＝ｄ^2（ｅ^2＋ｅｆ＋ｆ^2）（ｅ^2−ｅｆ＋ｆ^2＋ｄ（ｄ＋ｅ＋ｆ））

ａ^2ｅ^2ｆ^2＝ｅ^2ｆ^2（ｅ^2＋ｅｆ＋ｆ^2）

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2b=a+c

a^2+b^2+c^2=2(d^2+e^2+^2)+(de+ef+fd)

3(b^2+g^2)=2(d^2+e^2+f^2)+(de+ef+fd),d,e,fは3の倍数

　　a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2）=a^2d^2(f^2+fd+d^2+d^2+de+e^2+e^2+f^2-e^2-ef-f^2-d^2）

　　a^2d^2(b^2+c^2+e^2+f^2-a^2-d^2）=a^2d^2(d^2+e^2+f^2+de-ef+fd）

やはり展開するしかないようだ・・・

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