【１】六斜術

　「六斜術」とは平面三角形ＡＢＣの６本の線分間の等式を意味する「和算用語」です．平面三角形ＡＢＣにおいて，ＢＣ＝ａ，ＣＡ＝ｂ，ＡＢ＝ｃとおき，平面上の点Ｐに対してＰＡ＝ｄ，ＰＢ＝ｅ，ＰＣ＝ｆとするとき

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

　＝ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

が成立します．一見複雑ですが，左辺は相対する線分の２乗の積に，他の線分の２乗の和から自分自身の２乗を引いた量をかけた和

　　ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）

であり，右辺は４個の三角形の周辺３本の２乗の積の和

　　ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

です．

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三角形の辺長の組 (a, b, c) の最小値は等差数列をなすので、

　「2b=a+c」という条件を付加した整数解を探すと（ペル方程式を解いて）手計算でも求められるかもしれない。

a=b-g, b,c=b+gとしてみると

　　(b-g)^2ｄ^2（ｂ^2＋(b+g)^2＋ｅ^2＋ｆ^2−(b-g)^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（(b+g)^2＋(b-g)^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）

　＋(b+g)^2ｆ^2（(b-g)^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−(b+g)^2−ｆ^2）

=　　(b-g)^2ｄ^2（b^2+4bg＋ｅ^2＋ｆ^2−ｄ^2）

　＋ｂ^2ｅ^2（b^2+2g^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｅ^2）

＋(b+g)^2ｆ^2（ｂ^2-4bg＋ｄ^2＋ｅ^2−ｆ^2）

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　　ａ^2ｂ^2ｃ^2＋ａ^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2ｃ^2

　　=(b-g)^2ｂ^2(b+g)^2＋(b-g)^2ｅ^2ｆ^2＋ｄ^2ｂ^2ｆ^2＋ｄ^2ｅ^2(b+g)^2

それほど簡単にはならない

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