■単体の体積(その52)

 4辺の長さを与えてもその形は決まらないので,ヘロンの公式のような公式は期待できないが,四角形が円に内接するとき,面積は最大値をとり,ブラーマグプタの公式

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d))^1/2,

  s=(a+b+c+d)/2

が成り立つ.

 ブラーマグプタの公式を証明しておきたい.

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【1】ブラーマグプタの公式

 四角形の4辺の長さをa,b,c,d,内角をα,β,γ,δとする.ここで,2s=a+b+cとおくと,四角形の面積は

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcd(1+cos(β+δ))/2

となる.

 この定理でd→0とすると,三角形のヘロンの公式

  Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

が得られる.

 また,四角形が円に内接するとき,β+δ=π,cos(β+δ)=−1より,面積は最大となり

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)

が成り立つ.(四角形が円に内接するとき,ブラーマグプタの公式に一致する.)

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【1】ブレットシュナイダーの公式

 また,(β+δ)/2=θとおくと,

  (1+cos(β+δ))/2=(1+cos2θ)/2=cos^2θ

であるから,ブレットシュナイダーの公式に一致する.

 辺a、bのなす角をα,辺c、dのなす角をβ,θ=(α+β)/2とすると,19世紀になってから四角形の面積を正確に求める公式が得られた.

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos^2θ)^1/2

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