■単体の体積(その49)

[Q]1辺の長さが正方形の4頂点を中心として,各々4分円を描く.中央の丸い四角形の面積は?

という問題がどうしても解けなかった記憶がある.

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[1]中央の丸い四角形の面積:S1

[2]それに辺で接する太った三角形の面積:S2

[3]正方形の辺を底辺とするやせた三角形の面積:S3

とすると,

  S1+4S2+4S3=1

  S1+3S2+2S3=π/4

 このほかに

  S1+2S2=π/2−1

  S2+2S3=1−π/4

などもすぐわかるが,これらは前2式から誘導されるものであって,どうして模式がひとつ足りない.

 時間はかかるが,最後には自力で,中央の丸い四角形の弓形部分の面積を求めてみることを試みる.

 弧(半径1)の両端を対蹠する正方形の頂点と結べば頂角30°になることから,弓形部分の面積は

  (π−12/4)/12=π/12−1/4

 また,正方形部分の体積は,ピタゴラスの定理より2−√3と計算されるので,中央の丸い四角形の面積は

  S1=2−√3+4(π/12−1/4)=π/3+1−√3

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