■単体の体積(その44)

 1辺の長さが1の正n角形に内接する円がある.このとき,円の半径rは,

  r=1/(2tan(π/n))

で与えられる.

[1]n=3,r=1/(2√3)

[2]n=4,r=1/2

[4]n=6,r=√3/2

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[1]n=3

 r=1/(2tanθ),θ=π/3,tan3θ=0,tanθ≠0より,

 3tanθ−tan^3θ=0

 3−tan^2θ=0

 3−1/4r^2=0

 12r^2−1=0

[2]n=4

 r=1/(2tanθ),θ=π/4,tan4θ=0,tanθ≠0より,

 4tanθ−4tan^3θ=0

 1−tan^2θ=0

 1−1/4r^2=0

 4r^2−1=0

 ここで,tan(π/n)に対してn倍角の公式を適用すると,rは代数方程式の解として得ることができる.一般式で表してみよう.

 r=1/(2tanθ),θ=π/n,tannθ=0,tanθ≠0より,

[1]n=2kのとき,(j=0〜k−1)

  Σ(−1)^j(n,2r+1)(tanθ)^2j+1=0

  Σ(−1)^j(n,2r+1)(1/2r)^2j+1=0

[2]n=2k+1のとき,(j=0〜k)

  Σ(−1)^j(n,2r+1)(tanθ)^2j+1=0

  Σ(−1)^j(n,2r+1)(1/2r)^2j+1=0

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