■単体の体積(その34)

[1]n=7のとき,辺の長さxと対角線の長さyとzとして(x<y<z),

  [定理1]→x^2y^2z^2=7

  [定理2]→2x^2+2y^2+2z^2=14

条件が足りないことがわかるだろう.また,2次方程式の範囲内で解けるかどうか,甚だ疑問である.

 余弦定理を適用すると

  (x^2+y^2−x^2)/2xy=(y^2+z^2−x^2)/2yz=(z^2+z^2−x^2)/2z^2

  y^2z^2=xz(y^2+z^2−x^2)=xy(2z^2−x^2)

 z^2=7/x^2y^2,z^2=7−x^2−y^2を代入すると,

  7/x^2=√7/y(7−2x^2)=xy(14−3x^2−2y^2)

  7y=√7x^2(7−2x^2)=x^3y^2(14−3x^2−2y^2)

  y=x^2(7−2x^2)/√7,y^2=x^4(7−2x^2)^2/7

  √7(7−2x^2)=xy^2(14−3x^2−2y^2)

に代入すると,

  x^5(7−2x^2)^2/7・(14−3x^2−2x^4(7−2x^2)^2/7)=√7(7−2x^2)

  x^5(7−2x^2)/7・(14−3x^2−2x^4(7−2x^2)^2/7)=√7

 xの方程式にはなったが,2次方程式には帰着されそうにない.

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[2]n=9のとき,辺の長さxと対角線の長さyとzとwとして(x<y<z<w),

  [定理1]→x^2y^2z^2w^2=9

  [定理2]→2x^2+2y^2+2z^2+2w^2=18

条件が足りない.2次方程式の範囲内で解けるかどうかも疑問.

 余弦定理を適用すると

  (x^2+y^2−x^2)/2xy=(y^2+z^2−x^2)/2yz=(z^2+w^2−x^2)/2zw=(w^2+w^2−x^2)/2w^2

  y^2zw^2=xw^2(y^2+z^2−x^2)=xyw(z^2+w^2−x^2)=xyz(2w^2−x^2)

 w^2=9/x^2y^2z^2,w^2=9−x^2−y^2−z^2を代入すると,

  9/x^2z=9/xy^2z^2(y^2+z^2−x^2)=3/z(9−2x^2−y^2)=xyz(18−3x^2−2y^2−2z^2)

  9y^2z=9x(y^2+z^2−x^2)=3x^2y^2z(9−2x^2−y^2)=x^3y^3z^3(18−3x^2−2y^2−2z^2)

  9=3x^2(9−2x^2−y^2)=x^3yz^2(18−3x^2−2y^2−2z^2)

などとなるが,xの方程式に直すには猶途遠し.

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