■単体の体積(その22)

【1】ブレットシュナイダーの公式

 四角形の4辺の長さをa,b,c,d,内角をα,β,γ,δとする.ここで,2s=a+b+c+dとおくと,四角形の面積は

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcd(1+cos(β+δ))/2

 また,(β+δ)/2=θとおくと,

  (1+cos(β+δ))/2=(1+cos2θ)/2=cos^2θ

であるから,

  S=((s−a)(s−b)(s−c)(s−d)−abcdcos^2θ)^1/2

 辺a,bのなす角をα,辺c,dのなす角をβ,θ=(α+β)/2とすると,19世紀になってから四角形の面積を正確に求める公式が得られた.

 この定理でd→0とすると,三角形のヘロンの公式

  Δ^2=s(s−a)(s−b)(s−c)

が得られる.

 また,四角形が円に内接するとき,β+δ=π,cos(β+δ)=−1より,面積は最大となり

  S^2=(s−a)(s−b)(s−c)(s−d)

が成り立つ.(四角形が円に内接するとき,ブラーマグプタの公式に一致する.)

===================================

【2】まとめ

 三角形は3辺の長さa,b,cが与えられれば一意に決まりますから,当然面積も決まり,面積はa,b,cで表されるというのがヘロンの公式ですが,残念なことに四角形以上ではこのような公式はありえません.たとえば,すべての辺の長さが1の四角形の面積は0〜1の任意の値をとることができます(ブレットシュナイダーの公式には角度θがはいっている).

 四面体もの場合は6辺の長さを与えると(それが存在するなら)決まりますから,体積を与える公式もあり,オイラーによって与えられています.面の形が三角形でないならこの種の公式はあり得ません.

 そこで,すべての面を三角形であるとして,辺の長さによる体積公式はあるでしょうか? このような公式が存在することが証明されています(それらは公式というよりはある代数方程式の根として得られます).平面三角形の面積,四面体の体積ではΔ^2を含む多項式が現れましたが,さらに複雑な立体にはますます高次の累乗が必要になり,たとえば,三角八面体の体積の公式にはΔ^16が含まれています.これ以上面の数が増えると次数は急速に大きくなります.

===================================