【５】正５胞体と五角形

　４次元空間の単体（５胞体）の体積は係数１／２４を除いて行列式

　　２４｜Ｖ｜＝｜１　　１　　１　　１　　１　｜

　　　　　　　　｜ｘ11　ｘ21　ｘ31　ｘ41　ｘ51｜

　　　　　　　　｜ｘ12　ｘ22　ｘ32　ｘ42　ｘ52｜

　　　　　　　　｜ｘ13　ｘ23　ｘ33　ｘ43　ｘ53｜

　　　　　　　　｜ｘ14　ｘ24　ｘ34　ｘ44　ｘ54｜

で表されます．

　ここで，右辺の第ｉ列から第ｉ＋１列を引く操作をｘｉ＝１，２，３，４の順に繰り返すと

　　２４｜Ｖ｜＝｜ｘ11−ｘ21　ｘ21−ｘ31　ｘ31−ｘ41　ｘ41−ｘ51｜

　　　　　　　　｜ｘ12−ｘ22　ｘ22−ｘ32　ｘ32−ｘ42　ｘ42−ｘ52｜

　　　　　　　　｜ｘ13−ｘ23　ｘ23−ｘ33　ｘ33−ｘ43　ｘ43−ｘ53｜

　　　　　　　　｜ｘ14−ｘ24　ｘ24−ｘ34　ｘ34−ｘ44　ｘ44−ｘ54｜

　この転置行列を右からかけると

　　２４^2Ｖ^2＝｜Σ（ｘik−ｘi+1k）（ｘjk−ｘj+1k）｜

　　　　　　　＝｜ａi↑・ａj↑｜

すなわち，グラミアンで与えられます．

　さらにここで正５胞体（各辺の長さを１，各内角をθ）とすると，

　　ａi↑・ａi↑＝１，ａi↑・ａi+1↑＝ｃｏｓ（π−θ）＝−ｃｏｓθ

後者をｘとおくと，ｘ＋ｙ＝−１／２なるｘ，ｙについて

　　２４^2Ｖ^2＝｜１　ｘ　ｙ　ｙ｜

　　　　　　　　｜ｘ　１　ｘ　ｙ｜

　　　　　　　　｜ｙ　ｘ　１　ｘ｜

　　　　　　　　｜ｙ　ｙ　ｘ　１｜

となります．

　この行列式はｘ，ｙについて対称式であり，

　　ｘ^4−２ｘ^3ｙ−ｘ^2ｙ^2＋ｙ^4＋４ｘ^2ｙ＋４ｘｙ^2−３ｘ^2−３ｙ^2＋１

と展開されます．これが

　　（ｘ^2−３ｘｙ＋ｙ^2＋ｘ＋ｙ−１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

　さらに，黄金比：τ＝（√５＋１）／２，τ^(-1)＝（√５−１）／２を用いると

　　（τｘ−τ^(-1)ｙ−１）（τ^(-1)ｘ−τ^(-1)ｙ＋１）（ｘ^2＋ｘｙ＋ｙ^2−ｘ−ｙ−１）

と因数分解できます．これは計算機による数式処理の初歩の演習問題といえるでしょう．

　この正５胞体が３次元に退化する条件は

　　Ｖ＝０，ｘ＋ｙ＝−１／２

を解くことにより，

　　ｘ＝（√５−１）／４，−（√５＋１）／４

すなわち，

　　θ＝１０８°（正五角形）または３６°（星形五角形）

となり，３次元を通り越して一挙に２次元まで退化してしまいます．すなわち，正５胞体は平面の正五角形と星形五角形の中間の４次元図形と解釈できるというわけです．

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