■単体の体積（その４）
【４】オイラーの四面体公式（空間のヘロンの公式）
この節で取り上げるのは，四面体についてのオイラーの問題「６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで，与えられた４面体の体積を求めよ」です．
２つのベクトルａ↑，ｂ↑を基底とする平行体（平行四辺形）の面積は，外積は
ａ↑×ｂ↑
３つのベクトルａ↑，ｂ↑，ｃ↑を基底とする平行体（平行六面体）の体積は，スカラー三重積
（ａ↑×ｂ↑）・ｃ↑
すなわち，外積ａ↑×ｂ↑とベクトルｃ↑の内積で与えられます．
｜ａ↑｜＝ａ，｜ｂ↑｜＝ｂとすれば，平行四辺形の面積は，
Ｓ＝ａｂｓｉｎθ
ですから，
Ｓ^2＝ａ^2ｂ^2（１−ｃｏｓ^2θ）
＝｜ａ↑｜^2｜ｂ↑｜^2−（ａ↑・ｂ↑）^2
＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑｜
同様に，平行六面体の体積は
Ｖ^2＝｜ａ↑・ａ↑ ａ↑・ｂ↑ ａ↑・ｃ↑｜
｜ｂ↑・ａ↑ ｂ↑・ｂ↑ ｂ↑・ｃ↑｜
｜ｃ↑・ａ↑ ｃ↑・ｂ↑ ｃ↑・ｃ↑｜
で与えられます．
これらのように，内積の行列式で定義される行列式をグラムの行列式（グラミアン）といいます．平行体の面積・体積はグラミアンの平方根に等しくなるというわけです．
また，座標を使って表せば，ｎ＋１個の点の座標に（１，１，１，・・・，１）を加えて作られる（ｎ＋１）次の行列式の絶対値になります．
｜Ｓ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜１ ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜１ ｘ2 ｙ2｜ ｜１ ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜１ ｘ3 ｙ3｜ ｜１ ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
｜１ ｘ4 ｙ4 ｚ4｜
原点が含まれるときは，
｜Ｓ｜＝｜ｘ1 ｙ1｜ ｜Ｖ｜＝｜ｘ1 ｙ1 ｚ1｜
｜ｘ2 ｙ2｜ ｜ｘ2 ｙ2 ｚ2｜
｜ｘ3 ｙ3 ｚ3｜
のように展開されます．
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
これらはそれぞれｎ次元単体の体積のｎ！倍になりますから，三角形の面積，四面体の体積は，
Ｓ’＝Ｓ／２
Ｖ’＝Ｖ／６
また，４辺の長さがａ，ｂ，ｃで与えられた三角形，６辺の長さがａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆで与えられた四面体の場合は，
２^2（２！）^2Ｓ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｃ^2 １｜
｜ｂ^2 ｃ^2 ０ １｜
｜１ １ １ ０｜
２^3（３！）^2Ｖ’^2＝｜０ ａ^2 ｂ^2 ｃ^2 １｜
｜ａ^2 ０ ｄ^2 ｅ^2 １｜
｜ｂ^2 ｄ^2 ０ ｆ^2 １｜
｜ｃ^2 ｅ^2 ｆ^2 ０ １｜
｜１ １ １ １ ０｜
となります．
前者はおなじみの平面三角形のヘロンの公式にほかなりませんが，面積をＳ’＝Δとして，
（４Δ）^2＝２ａ^2ｂ^2＋２ｂ^2ｃ^2＋２ｃ^2ａ^2−ａ^4−ｂ^4−ｃ^4
＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（−ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ−ｂ＋ｃ）（ａ＋ｂ−ｃ）
ここで，２ｓ＝ａ＋ｂ＋ｃとおくと
Δ^2＝ｓ（ｓ−ａ）（ｓ−ｂ）（ｓ−ｃ）
となり，ヘロンの公式が得られます．
後者が空間のヘロンの公式であり，Ｖ’＝Δとして
（１２Δ）^2＝ａ^2ｄ^2（ｂ^2＋ｃ^2＋ｅ^2＋ｆ^2−ａ^2−ｄ^2）
＋ｂ^2ｅ^2（ｃ^2＋ａ^2＋ｆ^2＋ｄ^2−ｂ^2−ｅ^2）
＋ｃ^2ｆ^2（ａ^2＋ｂ^2＋ｄ^2＋ｅ^2−ｃ^2−ｆ^2）
−ａ^2ｂ^2ｃ^2−ａ^2ｅ^2ｆ^2−ｄ^2ｂ^2ｆ^2−ｄ^2ｅ^2ｃ^2
この空間のヘロンの公式は，オイラーの公式と呼ばれるものですが，
（１２×体積）^2＝六斜術の両辺の差
に等しいということを主張しています．点Ｐが平面三角形ＡＢＣの平面上になく，４点が四面体の頂点をなすときの四面体の体積公式ですから，六斜術は四面体が平面上に退化して体積が０になった極限と解釈することができます．
オイラーの公式は複雑であり，平面三角形のヘロンの公式のように因数分解できません．ただし，４面の面積が等しい等積四面体＝４面が合同な鋭角三角形よりなる四面体（バンの定理）の場合，
７２Δ^2＝（−ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2−ｂ^2＋ｃ^2）（ａ^2＋ｂ^2−ｃ^2）
と因数分解した形で表されます．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
