Ｅ8ルート格子の算術的な性質は，２次形式理論から，Ｅ8内のノルムｎのベクトルの個数が，ｎの約数の立方の和に２４０を掛けたものであることから導かれる．

　八元整数のノルム　　　１　　　２　　　３　　　４　　　５

　その個数　　　　　　　240 　　2160　　6720　　17520 　30240

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［１］Ａn格子

　ｎ次元単体の辺に沿ったベクトルで生成される格子．そのベクトルをｎ＋１次元空間内にとると，生成元は

　　（１，−１，０，・・・・０）

［２］Ｄn格子

　ｎ次元正軸体の辺に沿ったベクトルで生成される格子．生成元は

　　（±１，±１，０，・・・・０）

［３］Ｅ8格子

　　Ａ8の辺ベクトルと，それに隣接するＤ8の辺ベクトルで生成される格子．Ａ8を指数３で，Ｄ8を指数２で含む．

　八元整数は成分がすべて整数の数だけでは不十分で，適当に半整数（整数＋１／２）も含める必要があります．

　ここで，八元整数の体系内で，除法

　　α＝β・γ＋δ，｜δ｜＜｜β｜

は可能かという問題があるのですが，ケイリー（その後何人か）が代数的に証明しようとして失敗したという逸話が伝わっています．

　それは可能なことをはじめて証明したのがコクセターです．その証明は幾何学的で，８次元空間内で正単体と正軸体をうまく組み合わせると空間充填可能になります．コクセターは八元整数全体をうまく結ぶと自然にその充填形ができることを証明し，β^-1αに最も近い八元整数γが１未満にあることを幾何学的に証明したことになります．

　なぜなら，辺の長さが１の正単体，正軸体で頂点から最も近いのはその中心で，そこまでの距離名それぞれ

　　２／３＜１，１／√２＜１

となるからです．

　代数的に証明しようとして失敗した難問が，図形的に考えれば，ほとんど自明な事実となってしまったというわけです．

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