■整数環X(その38)

[1]ガウスの整数

 a,bを整数として

  a+bi

で表される複素数が「ガウスの整数」です.ガウスの整数は和と積の演算に関して閉じています→「ガウスの整数環」.

 また,すべてのガウス整数を約す整数が「単数」で,1の4乗根である

  ±1,±i

の4個の単数があります.ガウス整数は正方形の対称性をもつ正方格子をなします.

 素数は複素数体でも定義されますが,ガウス素数とはそのノルムが通常の素数であるようなガウス整数のことです.数論の教えるところによると,複素数体においても,単数を除いて,素因数分解の一意性が成立します.

 4k+3型素数はやはりガウス素数ですが,2および4k+1型素数はガウス素数の積に分解されるのです.

  2=(1+i)(1−i)=i(1−i)^2

  5=(1+2i)(1−2i)

  29=(5+2i)(5−2i)

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

[2]アイゼンスタインの整数

 アイゼンスタインの整数は

  a+bω

と書くことができます.ここで,ωは1の虚立方根

  ω=(−1+√−3)/2

で,x^2+x+1=0の根です.それに対して,ガウス整数にはx^2+1=0が対応しています.

 アイゼンスタインの整数には,6つの単数

  ±1,±ω,±ω^2

があり,正六角形の対称性をもつ三角格子をなします.

 ここにもやはり素因数分解の一意性が成立します.2および6k+5型素数はアイゼンスタイン素数ですが,3および6k+1型素数はアイゼンスタイン素数の積に分解されます.

  3=(1−ω)(1−ω^2)=(1+ω)(1−ω)^2=(1−ω)(2+ω)

  37=(4−3ω)(4−3ω^2)=(4−3ω)(7+3ω)

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