【２】オイラー・ポアンカレの定理

　凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理） が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．

　オイラーの多面体定理を一般化したものが，オイラー・ポアンカレの定理です．オイラー標数はベッチ数の交代和

　　Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・ に等しいというのが，オイラー・ポアンカレの内容ですが，ベッチ数とは，形には関係しないで，接触と分離にだけ関係するトポロジカルな示性数で，簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数のことです．

　凸多角形では，

　　ｖ−ｅ＝０

ですから，ｎ角形はｎ辺形になりますし，また，胞の個数をｃで表すと，４次元空間では，

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０

というオイラー・ポアンカレの定理が成り立っています．

　ところで，線分と三角形および四面体（三角錐）は，それぞれ最も簡単な１次元図形，２次元図形，３次元図形ですが，次元数ｎより１つ多い（ｎ＋１）個の頂点によって作られる図形をシンプレックス（単体）と呼びます．線分は１次元単体，三角形は２次元単体，三角錐は３次元単体とも呼ばれます．

　線分は２つの端点（０次元の境界要素）をもち，その内部は１次元です．三角形は３つの頂点（０次元）と３つの辺（１次元）をもち，その内部は２次元です．四面体は４つの頂点（０次元）と６つの辺（１次元）および４つの面（２次元）をもち，その内部は３次元です．これらの数をまとめて書くと

　　　　２，１

　　　３，３，１

　　４，６，４，１

ですが，これらの数はパスカルの三角形の一部分に相当しています．これから類推すると４次元のシンプレックスは５，１０，１０，５，１，すなわち５つの頂点と１０辺，１０面，５胞（正５胞体）になります．

　　　　２，１

　　　３，３，１

　　４，６，４，１

　５，10，10，５，１

６，15，20，15， 6，１

　一般に，ｎ次元単体については，

　　ｖ＝n+1Ｃ1，ｅ＝n+1Ｃ2，ｆ＝n+1Ｃ3，ｃ＝n+1Ｃ4，・・・，

　また，

　　n+1Ｃ0−n+1Ｃ1＋n+1Ｃ2−n+1Ｃ3＋・・・＋(-1)^(n+1)n+1Ｃn+1＝０

ですから，

　　Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・＝１±１

すなわち，オイラー標数は，ｎが奇数のとき２，偶数のとき０になることが理解されます．

ｎ次元立方体：fk=2^(n-k)(n,k)

ｎ次元正軸体：fk=2^(k+1)(n,k+1)

の場合も同様です。

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ｎ次元正軸体：fk=2^(k+1)(n,k+1)

6,12,8

8,24,32,16

10,40,80,80,32

16,60,160,240,192,64となります

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