【２】等周不等式

　平面凸集合に関して，周の長さＬが一定で面積Ａが最大の図形（面積が一定で周の最小な図形）は円であるという事実はよく知られています．そのことはＬ2 ≧４πＡという不等式で表現されます．等号は円のときだけ成立します．

　同様に，３次元凸集合に対し，表面積をＳ，体積をＶとするとＳ3 ≧３６πＶ2 が成り立ちます．等号成立は球のときだけで，すべての立体中で球が表面積に対して最大の体積をもっています．

　そこで，等周不等式

　　Ｌ2 ≧４πＡ

　　Ｓ3 ≧３６πＶ2

をどんな次元にも適用できるように公式化してみましょう．

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　球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x12+x22+･･･+xn2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．ｎ次元単位球はどんなに次元が高くても，長さが２より大きな線分を含むことはできません．

　ｎ次元単位超球の体積Ｖn，その表面積を表面積Ｓn-1とすると，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となります．ｎ次元単位超球の体積Ｖnを求めてみることにしましょう．

　まず，ガウス積分をｎ次元に拡張し，

　　I=∫(-∞,∞)exp(-x1^2+x2^2+･･･+xn^2)dx1dx2･･･dxn

を考えると∫(-∞,∞)exp(-x^2)dx=π^(1/2)のｎ重積分より，直ちに

　　I=π^(n/2)

を得ることができます．

　次に，ｎ次元ガウス積分を別の方法，すなわち，直交座標でなく極座標で求めてみます．ガウス積分の被積分関数を原点を中心とする半径ｒの球面上で積分し，次にｒ＝０からｒ＝∞まで積分すると，半径ｒの球面上で被積分関数は一定値exp(-r^2)をとり，表面積はｎＶnｒ^(n-1)ですから，

I=∫(0,∞)exp(-r^2)ｎＶnｒ^(n-1)dr

=ｎＶn∫(0,∞)r^(n-1)exp(-r^2)dr

z=r2と変数変換するとdz=2rdrより

I=ｎＶn/2∫(0,∞)z^(n/2-1)exp(-z)dz

=Ｖnn/2Γ(n/2)　　　　（n/2Γ(n/2)=Γ(n/2+1)）

=ＶnΓ(n/2+1)

　したがって，

　　Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)

を得ることができます．また，Γ(m+1)=m!より，この結果は，形式的に

　　Ｖn=π^(n/2)/(n/2)!

と書くことができます．

　ｎが整数のとき，実際にＶnの値を計算してみると，

ｎ　　　 Ｖn

１　　　2

２　　　3.14

３　　　4.19

４　　　4.93

５　　　5.263

６　　　5.167

７　　　4.72

８　　　4.06

９　　　3.30

10　　　2.55

　１次元から６次元までを具体的に書けば，

　　Ｖn＝２，π，４π／３，π2／２，８π2／１５，π3／６

という具合に，πのべき乗は偶数次元になるたびに１つあがります．また，超球の体積はｎ＝５のとき最大８π2／１５＝５．２６３７・・・となり，以後は減少します．（次元を整数に限らなければ５．２５６次元で最大となり，そのときの体積は5.277･･･である．）

　Ｖn-1がわかれば，Ｖnは漸化式：

　　Ｖn/Ｖn-1=Γ(1/2)Γ{(n+1)/2}/Γ(n/2+1)=B(1/2,(n+1)/2)

によって求めることができますが，この計算は面倒ですから，Ｖn-2との漸化式

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n

を用いると任意のｎに対して

　　ｎが奇数であれば，Ｖn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!

　　ｎが偶数であれば，Ｖn=(2π)^(n/2)/n!!

とも書けることも理解されます．

　そして，ｎ→∞のとき，

　　Ｖn/Ｖn-2=2π/n→０

　　Ｓn-1/Ｓn-3=nＶn/(n-2)Ｖn-2=2π/(n-2)→０

ですから，不思議なことに，単位球面の体積や表面積はｎ→∞のとき０に収束するのです．また，このことから，ｎ次元単位超立方体[-1,1]^nにおいて，単位超球が占める比率は，ｎ＝２であればπ／４(79%)であるが，ｎ＝５のときは16%に下落し，ｎ＝１０となると0.25%になることも理解されます．したがって，高次元において，超立方体内に一様分布する標本を考えるとき，低次元の場合とは対照的に，大部分のデータは超球外に位置することになります．また，ここで重要なのは，単位超球を超立方体中に置くと，次元が大きくなるにつれて隙間がより大きくなる点です．

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　さて，立体図形のＳ3 ／Ｖ2 は平面図形のＬ2 ／Ａの相当していて，等周比あるいは等周定数と呼ばれます．半径ｒのｎ次元球の体積はＶnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^(n-1)となりますから，等周比を無次元化するために，

　　ｎ次元等周比＝表面積^n／体積^(n-1)

と定義すると，

　　ｎ次元等周比≧ｎ^nＶn＝ｎ^nπ^(n/2)/Γ(n/2+1)（＝Ｃn）

を得ることができます．等号は超球のときに限ります．

　とくに，ｎ＝２のときとｎ＝３のときについては，

　　Ｃ2＝４π，Ｃ3＝３６π

になること，すなわち，

　　Ｌ2 ≧４πＡ

　　Ｓ3 ≧３６πＶ2

が証明されました．

　以下，

　　Ｃ4＝2^7π^2，Ｃ5＝8/3*5^4π^2，Ｃ6＝6^5π^3，・・・

となりますが，等周比が有理数（整数）×πの形となるのは，２次元・３次元だけのようです．

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