■オイラー・ポアンカレの定理(その2)

【2】オイラー・ポアンカレの定理

 凸多面体の頂点,辺,面の数をそれぞれv,e,fとすると,

  v−e+f=2  (オイラーの多面体定理) が成り立ちます.これは3次元立体について,0次元の特性数であるv,1次元の特性数であるe,2次元の特性数であるfの関係を述べたものと解釈され,量(v−e+f)はオイラー標数と呼ばれます.

 オイラーの多面体定理を一般化したものが,オイラー・ポアンカレの定理です.オイラー標数はベッチ数の交代和

  Pv−Pe+Pf−Pg+Ph−Pi+・・・ に等しいというのが,オイラー・ポアンカレの内容ですが,ベッチ数とは,形には関係しないで,接触と分離にだけ関係するトポロジカルな示性数で,簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数のことです.

 凸多角形では,

  v−e=0

ですから,n角形はn辺形になりますし,また,胞の個数をcで表すと,4次元空間では,

  v−e+f−c=0

というオイラー・ポアンカレの定理が成り立っています.

 ところで,線分と三角形および四面体(三角錐)は,それぞれ最も簡単な1次元図形,2次元図形,3次元図形ですが,次元数nより1つ多い(n+1)個の頂点によって作られる図形をシンプレックス(単体)と呼びます.線分は1次元単体,三角形は2次元単体,三角錐は3次元単体とも呼ばれます.

 線分は2つの端点(0次元の境界要素)をもち,その内部は1次元です.三角形は3つの頂点(0次元)と3つの辺(1次元)をもち,その内部は2次元です.四面体は4つの頂点(0次元)と6つの辺(1次元)および4つの面(2次元)をもち,その内部は3次元です.これらの数をまとめて書くと

    2,1

   3,3,1

  4,6,4,1

ですが,これらの数はパスカルの三角形の一部分に相当しています.これから類推すると4次元のシンプレックスは5,10,10,5,1,すなわち5つの頂点と10辺,10面,5胞(正5胞体)になります.

 一般に,n次元単体については,

  v=n+1C1,e=n+1C2,f=n+1C3,c=n+1C4,・・・,

 また,

  n+1C0−n+1C1+n+1C2−n+1C3+・・・+(-1)^(n+1)n+1Cn+1=0

ですから,

  Pv−Pe+Pf−Pg+Ph−Pi+・・・=1±1

すなわち,オイラー標数は,nが奇数のとき2,偶数のとき0になることが理解されます.

n次元立方体:fk=2^(n-k)(n,k)

n次元正軸体:fk=2^(k+1)(n,k+1)

の場合も同様です。

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