【１】オイラーの多面体定理

　凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理） が成り立ちます．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈されます．

　量（ｖ−ｅ＋ｆ）はオイラー標数と呼ばれます．オイラー標数は幾何学において重要な概念である位相不変量の草分けであり，一般に，図形がいくつかの３角形によって分割されているとき，

　　頂点の数−辺の数＋３角形の数

は分割の仕方によらず定まり，図形に固有な量になるというものです．例えば，平面図形（多角形）は，１つの面が無限大となって全体が一面に広がってしまった正多面体と解釈することができますから，オイラー標数は１となり，また，種数（穴の数）ｇの向き付け可能な閉曲面の場合は２−２ｇとなることはよく知られています．

　オイラーの多面体定理を一般化したものが，オイラー・ポアンカレの定理です．オイラー数はベッチ数の交代和

　　Ｐv−Ｐe＋Ｐf−Ｐg＋Ｐh−Ｐi＋・・・

に等しいというのが，オイラー・ポアンカレの内容ですが，ベッチ数とは，形には関係しないで，接触と分離にだけ関係するトポロジカルな示性数で，簡単にいえば図形の中に潜む種々の次元の穴の数のことです．

　オイラーの定理が物理的作用と結びつくと，興味のある幾何学的効果が出現してきます．たとえば，２次元的にランダムに配列した石鹸の泡はいろいろなサイズの泡細胞からなっていますが，表面張力の要請から境界長を極小化しようとしますから，接合角度は１２０度となります（プラトー問題・最小シュタイナー木問題）．すなわち，石鹸の泡は各頂点の次数がすべて３である平面図形と考えることができます．

　ここで，次数とは頂点に結合する辺の個数のことで，ｄｅｇで表すことにすると，

　　２ｅ＝Σｄｅｇ（握手定理）

が成り立ちます．オイラーの定理と握手定理を応用すると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝１　　　（オイラーの定理）

　　２ｅ＝３ｖ　　　　　（握手定理）

したがって，ｐｆ＝２ｅでもって，平均的な泡細胞の形は６角形を中心とした分布をなし，６辺以上の泡細胞を６辺以下の泡細胞と相殺させる必要性から６から遠ざかることはほとんどないに違いないということになります．

　また，オイラーの多面体定理で示される制限から，単一の凸ｎ角形で平面を敷き詰めるものはｎ≧７では存在しないこと，２次元以上ですべての頂点の次数が６以上となることは不可能であり，必ず次数が５以下の頂点をもつこと，また，３次元では１４以上の凹面細胞をもつことは許されないことなどが導き出されます．

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