n次元置換多面体Πnのファセット数fnは
Σ(1+1)^k-2=2n+1-2
で与えられるが,漸化式の形に書くと
fn=fn-1+2・2^n-1=fn-1+2^n
f1=2,f2=6,f3=14,f4=30,・・・
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f2-f1=4
f3-f2=8
f4-f3=16
f5-f4=32
・・・・・・・・
fn-fn-1=2^n
Π(fn-fn-1)/(fn-1-fn-2)=2^n-1
としてもfnは求められないので,単純素朴に
Σ(fn-fn-1)=4+8+・・・+2^n
より,fn=2(2^n-1)が従う.
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[雑感]計算は簡単であるが,漸化式:fn=fn-1+2^nのもつ幾何学的意味を理解することはできただろうか?
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