【４】高次元の空間分割とミンコフスキーの舗石定理

　高次元離散幾何学の視点から，平行多面体を再考してみる．切頂八面体には６組の平行な辺があり，６次元立方体と相同と考えることができる．切頂八面体の辺を点に縮めることによって，長菱形十二面体→菱形十二面体，六角柱→立方体ができる．すなわち，六角柱，菱形十二面体は４次元立方体，長菱形十二面体は５次元立方体，切頂八面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものとなっていて，空間充填図形の基本形は切頂八面体と考えることができる．

　正方形や正六角形が平面充填可能な理由はそれが３次元立方体を２次元平面に投影したものとなっているからなのであるが，平行多面体の場合もそれらが６次元までの立方体を３次元空間へ投影した形だからである．このような見方ができるのは次元を上げて初めて見えてくるものがあるからであって，次元の効用と考えられるのである．

　また，オイラーの多面体定理を使うと，２次元細胞の辺数の平均は≦６であり，すべての細胞が６辺以上の辺をもつことは不可能である，また，３次元細胞の面数の平均は≦１４であり，すべての細胞が１４面以上の面をもつことは不可能であることが証明される．２次元細胞の多くは６角形であり，３次元細胞の多くには１４面体であることはわかったが，４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？　どのような形になるのかを知る人は（たとえいたとしても）非常に少ないであろう．答えを先にいうと，

［１］ｎ次元空間充填では，各頂点の周りに少なくともｎ＋１個の多面体が集まる（ルベーグの舗石定理）．

［２］ｎ＋１個のとき，ボロノイ細胞の面数は最大２（２^n−１）個で，安定な空間充填となる（ミンコフスキーの舗石定理）．

　ミンコフスキーの定理は２次元の安定な充填形は六角形，３次元では１４面体，４次元では３０胞体になるというものである．しかしながら，３０胞体に関するこれ以上の高次元情報を得ようとするとそれを攻略するための新たな道具立てが必要となる．その詳細をこの紙面で紹介することは困難なのでどうしても抽象的な言い方にならざるを得ないが．実は多面体は「遺伝子」をもっていて，その解析アルゴリズムを適用することによって(多面体を見ずして)，簡単に多面体情報を計算できるようになる．たとえば，切頂八面体の遺伝子は{33}(111)で与えられるが，そのｆベクトル は(v,e,f)=(24,36,14)となること．４組（８枚）の六角形面と３組（六枚）の四角形面からなる１４面体であること．３次元空間を充填するとき，各頂点の周りに４個ずつ集まること．１点に４個の多面体が会すると頂点や辺だけで接している多面体がなくなり，ボロノイ分割に対して安定となること，等々．

　高次元多面体でも同様に計算可能となり，４次元３０胞体{333}(1111)のｆベクトルは(v,e,f,c)=(120,240,150,30)となること．５組（１０個）の切頂八面体と１０組（２０個）の六角柱からなる３０胞体となること．ケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まることになること・・・といった類が解読可能となる．

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