【３】分割多面体の幾何学的性格

　このような簡単な自然の摂理からどのようなことが理論的に誘導されるのだろうか？　ｖ，ｅ，ｆをそれぞれ頂点，辺，面の数とする．面は多かれ少なかれ曲面となるのが通例であるから，多面体は面が曲面であっても辺が曲線であってもかまわないという前提をおいて考えてみよう．

　分割された空間から１個の多面体を分離して考えてみると，１個の頂点に３本の辺が集まり，１辺は２個の頂点を結ぶから

　　２ｅ＝３ｖ

また，オイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

により，

　　ｖ＝２（ｆ−２），ｅ＝３（ｆ−２）

　つまり，面の数ｆが与えられれば頂点の数ｖと辺の数ｅは一義に決まり，頂点の数は必ず偶数になることがわかる．とはいっても，面の数は一義的には決まらず，統計的にしか扱えないのであるが，面の数ｆはほぼ１４をピークとする分布を示すことが認められている．たとえば，植物細胞についての観察結果では全体の７４％が１２〜１６面であり，５６％が１３〜１５面（平均１３．９６面）という値が得られている．

　そこで，ｆ＝１４なる多面体について調べてみると

　　ｖ＝２（ｆ−２）＝２４，ｅ＝３（ｆ−２）＝３６

つぎに，面が何角形になるかを求めてみると，これはもちろん１通りではないが，１本の辺は２個の面によって共有されることを考慮し，各頂点に平均してｐ角形がｑ面が会するとすると，ｐｆ＝２ｅ，ｑｖ＝２ｅより，その平均辺数ｐと平均会合面数ｑは

　　ｐ＝２ｅ／ｆ＝５．１４・・・

　　ｑ＝２ｅ／ｖ＝３

を得ることができる．

　このことから，１４面体の面のかたちについては，必然的に辺数５を中心とする分布をなすことが示唆される．このことは，経験的に５角形の頻度が最も高いという観察結果に一致しているのである．

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【４】空間分割と１４面体

　１点に４個の多面体が会し，１本の線の周りに３個の多面体が合するというのが空間分割の局所条件であるが，その局所条件を満足させ得る多面体は何であろうか？

　ｆ＝１４の単一多面体による空間分割を考えると，まず，切頂八面体とその変形，すなわち８個の六角形と６個の四角形の面をもつものがあげられる（４^6６^8）．これは１８８７年にケルビンが石鹸の泡による空間分割の力学的研究から誘導したものである．

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