■デーン・サマービル関係式(その58)

【2】フィボナッチ数列の三角関数表現

  φ=(1+√5)/2,−1/φ=(1−√5)/2

とおくと,

  Fn=1/√5[φ^n+1−(−1/φ)^n+1]

となる.

また,

  t=√5/2,φ=1/2+t=a,−1/φ=1/2−t=b

とおくと,

  a^2−2pkab+b^2

 =(1/2+t)^2−2pk(1/2+t)(1/2−t)+(1/2−t)^2

 =2{(2^-2+t^2)−(2^-2−t^2)pk}

 =2{2^-2(1−pk)+t^2(1+pk)}

 pk=cos(2kπ/(n+1))のとき,半角の公式

  1−pk=2sin^2(kπ/(n+1))

  1+pk=2cos^2(kπ/(n+1))

より

  a^2−2pkab+b^2

 =sin^2(kπ/(n+1))+4t^2cos^2(kπ/(n+1))

 =1+(4t^2−1)cos^2(kπ/(n+1))

 =1+4cos^2(kπ/(n+1))

 nが偶数の場合,

  (a−b)/√5=1,m=n/2

nが奇数の場合,

  (a−b)(a+b)/√5=1,m=(n+1)/2

となって,いずれの場合も

  Fn=Π(k=1~[(n+1)/2]){1+4cos^2(kπ/(n+1))}

で表されるというわけである.

===================================