初項１，第２項２のフィボナッチ数列

　　１，２，３，５，８，１３，・・・

の一般項は

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］

で表されるが，

　　Ｆn＝Π(k=1~[(n+1)/2])｛１＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（ｎ＋１））｝

はその三角関数表現になっているとのことである．　この式はどうやって求めたものなのか？

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【１】ｘ^n+1−１の因数分解

　ｆ（ｘ）＝ｘ^n+1−１＝０の解を

　　αk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／（ｎ＋１））

とおく．

　複素数αkの共約複素数をαk~で表すことにすると

　　αk＋αk~＝２ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１）），αkαk~＝１

より，

　　（ｘ−αk）（ｘ−αk~）＝ｘ^2−２ｐk＋１

　　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））

となる．

　ｘ^n+1−１の因数分解はｎの偶奇によって若干様子が異なるが，ｎが偶数（ｎ＝２ｍ）ならば，ｎ＋１＝２ｍ＋１は奇数となって，ｆ（ｘ）＝０の解は１，α1，α1~，αm，αm~となるから

　　ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）Π(k=1~m)（ｘ^2−２ｐk＋１）

　ｎが奇数のとき（ｎ＋１＝２ｍ）は，±１，α1，α1~，αm-1，αm-1~より

　　ｘ^n+1−１＝（ｘ−１）（ｘ＋１）Π(k=1~m-1)（ｘ^2−２ｐk＋１）

となる．

　以上のことを同次化すると

ｎ＝２ｍのとき，

　　ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）Π(k=1~m)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）

ｎ＝２ｍ−１のとき，

　　ａ^n+1−ｂ^n+1＝（ａ−ｂ）（ａ＋ｂ）Π(k=1~m-1)（ａ^2−２ｐkａｂ＋ｂ^2）

　　ｐk＝ｃｏｓ（２ｋπ／（ｎ＋１））

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