整数ａk＞ａk-1＞・・・＞ａ2＞ａ1≧０に対して，昇順ｋ部分集合

　　Ｆn+1（ｋ）＝｛ａ1＋１，ａ2＋１，・・・，ａk＋１｝＜

を定義する．

　Ｎの３部分集合の逆辞書式順序の最初の方は

　　１２３＜１２４＜１３４＜２３４＜１２５＜１３５＜２３５＜１４５＜・・・

Ｎのすべての３部分集合を

　　Ｆ1（３）＜Ｆ2（３）＜Ｆ3（３）＜Ｆ4（３）＜Ｆ5（３）＜Ｆ6（３）＜Ｆ7（３）＜Ｆ8（３）＜・・・

のように列挙できる．

　このとき，逆辞書式順序で｛ａ1＋１，・・・，ａk＋１｝よりも小さいｋ部分集合がｎ個存在する．すなわち，すべてのｋ部分集合（ａk，ｋ）個はその極大元がａk＋１より小さく，（ａk−１，ｋ−１）個はその極大元がａk＋１で，２番目が元はａk-1＋１より小さく，・・・となる．

　また，あるＦj（ｋ）　（ｊ≦ｎ＋１）に含まれるｋ−１部分集合の極大元はａk＋１よりも小さいか，極大元はａk＋１であるが２番目が元はａk-1＋１よりも小さいか，・・・となる．したがって，

　　∂k（ｎ＋１）＝（ａk，ｋ−１）＋（ａk-1，ｋ−２）＋・・・＋（ａ2，１）＋（ａ1，０）

個のｋ−１部分集合がｋ集合Ｆ1（ｋ），Ｆ2（ｋ），・・・，Ｆn+1（ｋ）に含まれていることになる．

　たとえば，ｋ＝３，ｎ＝７とすると

　　７＝（４，３）＋（３，２）＋（０，１）

とりＦ8（３）＝｛５，４，１｝がわかり，

　　１２３＜１２４＜１３４＜２３４＜１２５＜１３５＜２３５＜１４５＜・・・

　　Ｆ1（３）＜Ｆ2（３）＜Ｆ3（３）＜Ｆ4（３）＜Ｆ5（３）＜Ｆ6（３）＜Ｆ7（３）＜Ｆ8（３）＜・・・

より，これよりも小さい集合は７個あり，そのなかで（４，３）＝４個は極大元が５より小さく，（３，２）＝３個は極大元が５であるが２番目の元が４より小さく，（０，０）＝１０個は初めの２つが５，４であるが３番目が１より小さい（不可能）．

　また，

　　∂8（３）＝（４，２）＋（３，１）＋（０，０）

は∂8（３）個の２部分集合が最初の８個の３集合に含まれている，すなわち，（４，２）＝６個は極大元が５より小さく，（３，１）＝３個は極大元が５であるが２番目の元が４より小さく，（０，０）＝０個は５，４を元にもつが３集合Ｆ8（３）には含まれていない．

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［まとめ］この応用として単体的複体のｆベクトルを特徴づけるのクラスカル・カトナの定理があげられる．

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