【１】デーン・サマービル関係式

　各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式

　　ｆk＝Σ(0,k)（－１）^j（ｎ－ｊ，ｎ－ｋ）ｆj

が成り立つ．

　ｋ次元面はｎ－ｋ個のファセットの共通部分に含まれる，残りのｎ－ｊ個のファセット上のあるものを引いて，引き過ぎた分を足し直してということを繰り返した包除公式である．デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．

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　　ｆk＝Σ(0,k)（－１）^j（ｎ－ｊ，ｎ－ｋ）ｆj

を書き直すと

　　ｆ0＝ｆ0

　　２ｆ1＝ｎｆ0

　　２ｆ3＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）／６ｆ0－（ｎ－１）（ｎ－２）／２ｆ1＋（ｎ－２）ｆ2

　　２ｆ5＝ｎ（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）（ｎ－４）／１２０ｆ0－（ｎ－１）（ｎ－２）（ｎ－３）（ｎ－４）／２４ｆ1＋（ｎ－２）（ｎ－３）（ｎ－４）／６ｆ2－（ｎ－３）（ｎ－４）／２ｆ3＋（ｎ－４）ｆ4

２ｆ2k+1＝Σ(0,2k)（－１）^j（ｎ－ｊ，２ｋ＋１－ｊ）ｆj

となる．

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