■デーン・サマービル関係式(その1)

【1】デーン・サマービル関係式

 各頂点がn本の辺上にあるn価のn次多面体(単純多面体)に対しては,デーン・サマービル関係式

  fk=Σ(0,k)(−1)^j(n−j,n−k)fj

が成り立つ.

 k次元面はn−k個のファセットの共通部分に含まれる,残りのn−j個のファセット上のあるものを引いて,引き過ぎた分を足し直してということを繰り返した包除公式である.デーンは1905年に5次元においてこの関係式を証明した.およそ20年後の1927年,サマービルが一般の場合を証明した.

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  fk=Σ(0,k)(−1)^j(n−j,n−k)fj

を書き直すと

  f0=f0

  2f1=nf0

  2f3=n(n−1)(n−2)/6f0−(n−1)(n−2)/2f1+(n−2)f2

  2f5=n(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/120f0−(n−1)(n−2)(n−3)(n−4)/24f1+(n−2)(n−3)(n−4)/6f2−(n−3)(n−4)/2f3+(n−4)f4

2f2k+1=Σ(0,2k)(−1)^j(n−j,2k+1−j)fj

となる.

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