■レムニスケートの幾何学(その135)

 今年は楕円関数についてのテーマが多かったが,楕円関数は単振り子の運動方程式

  d^2θ/dt^2=−g/l・sinθ

の解に現れる.

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【1】単振り子の運動方程式

 振幅は小さいときはsinθ〜θであるから,

  d^2θ/dt^2=−g/l・θ

ここで,ω=√(g/l)とすれば,単振動の式

  d^2θ/dt^2=−ω^2・θ

と等しくなる.

 そうでないときは,両辺にdθ/dtをかけて

  dθ/dt・d^2θ/dt^2=−ω^2sinθdθ/dt

tについて積分すると

  1/2・(dθ/dt)^2+ω^2(1−cosθ)=E

を得る.Eは系の全エネルギーに相当し,この式はエネルギー保存の法則を表している.

 ここで,θの替わりに

  E=2ω^2k^2,sin(θ/2)=kz

をみたすzを導入すると,楕円関数の逆関数

  ωt=∫(0,z)dz/{(1−z^2)(1−k^2z^2)}^1/2=sn^ー1(z,k)

  sin(θ/2)=ksn(ωt,k)

が得られるというわけである.

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【2】楕円関数の極限

  sn^ー1(z,k)=∫(0,z)dz/{(1−z^2)(1−k^2z^2)}^1/2

の右辺において,k→1の極限を考えると

  ∫(0,z)dz/(1−z^2)=1/2・ln(z−1)/(z+1)

  sin(θ/2)=tanh(ωt)

 k→0の極限を考えると

  ∫(0,z)dz/(1−z^2)^1/2=sin^-1z

  sin(θ/2)〜θ/2,θ=2ksin(ωt)

すなわち振幅の小さいときの解が得られる.

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