今年は楕円関数についてのテーマが多かったが，楕円関数は単振り子の運動方程式

　　ｄ^2θ／ｄｔ^2＝−ｇ／ｌ・ｓｉｎθ

の解に現れる．

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【１】単振り子の運動方程式

　振幅は小さいときはｓｉｎθ〜θであるから，

　　ｄ^2θ／ｄｔ^2＝−ｇ／ｌ・θ

ここで，ω＝√（ｇ／ｌ）とすれば，単振動の式

　　ｄ^2θ／ｄｔ^2＝−ω^2・θ

と等しくなる．

　そうでないときは，両辺にｄθ／ｄｔをかけて

　　ｄθ／ｄｔ・ｄ^2θ／ｄｔ^2＝−ω^2ｓｉｎθｄθ／ｄｔ

ｔについて積分すると

　　１／２・（ｄθ／ｄｔ）^2＋ω^2（１−ｃｏｓθ）＝Ｅ

を得る．Ｅは系の全エネルギーに相当し，この式はエネルギー保存の法則を表している．

　ここで，θの替わりに

　　Ｅ＝２ω^2ｋ^2，ｓｉｎ（θ／２）＝ｋｚ

をみたすｚを導入すると，楕円関数の逆関数

　　ωｔ＝∫(0,z)ｄｚ／｛（１−ｚ^2）（１−ｋ^2ｚ^2）｝^1/2＝ｓｎ^ｰ1（ｚ，ｋ）

　　ｓｉｎ（θ／２）＝ｋｓｎ（ωｔ，ｋ）

が得られるというわけである．

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【２】楕円関数の極限

　　ｓｎ^ｰ1（ｚ，ｋ）＝∫(0,z)ｄｚ／｛（１−ｚ^2）（１−ｋ^2ｚ^2）｝^1/2

の右辺において，ｋ→１の極限を考えると

　　∫(0,z)ｄｚ／（１−ｚ^2）＝１／２・ｌｎ（ｚ−１）／（ｚ＋１）

　　ｓｉｎ（θ／２）＝ｔａｎｈ（ωｔ）

　ｋ→０の極限を考えると

　　∫(0,z)ｄｚ／（１−ｚ^2）^1/2＝ｓｉｎ^-1ｚ

　　ｓｉｎ（θ／２）〜θ／２，θ＝２ｋｓｉｎ（ωｔ）

すなわち振幅の小さいときの解が得られる．

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