■レムニスケートの幾何学(その130)

 (その127)について,補足しておきたい.

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 たとえば,

  ∫(c,1)dx/(1−x^4)^1/2=1/√2F(k,φ1)

  k=1/√2

  φ1=arccos(c)

  レムニスケートの全長は4a/√2K(1/√2)

であるから,

  k0=1/√2=0.707107

から出発すれば,

  k’=(1−k^2)^1/2

  k1=(1−k’)/(1+k’)

であるから,

  k1=(1−1/√2)/(1+1/√2)=(√2−1)^2

=3−2√2=0.171573

 同様に

  k2=0.007470

  k3=0.000014

 このように,ランデン変換では

  k’=(1−k^2)^1/2

の過程で,その母数は急速に0に近づく.上の例ではk→k1に移ると約1/4となることがわかる.

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