■レムニスケートの幾何学(その126)

  ∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx

のような楕円積分は既に昔から深く研究されています.例えば,第1種楕円積分の標準形(ヤコビの形)

  F(k,φ)=∫(0,φ)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)

を使うと

  ∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx=1/4√3F(k,φ)

  φ=arccos((√3−1+x)/(√3+1−x))

  k=(√3+1)/2√2

と表されます.

  一松,数学公式T,p148,岩波

 ただし,このままでは母数

  k=(√3+1)/2√2

が1に近くて扱いが不便かもしれません.むしろ,ワイエルシュトラスの標準形

  ∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)

の特別な場合として扱ったほうが容易かもしれません.

===================================

 再度,

  I=∫(c,1)dx/(1−x^3)^1/2

を考える.

 変換

  x=1+√3(y−1)/(y+1)

により,x=cに対するyの値を

  y1=(c−1+√3)/(−c+1+√3)

とおくと

  I=1/4√3∫(y1,1)2dy/((1−y^2)(2−√3+(2+√3)y^2)^1/2

 ここで,y^2=1−z^2,z1^2=1−y1^2とおくと第1種楕円積分

  I=1/4√3∫(0,z1)dz/((1−z^2)(1−k^2z^2)^1/2=1/4√3F(k,φ1)

となる.ただし,

  k=(√2+√6)/4,sinφ1=z1

 ちなみに,

  ∫(c,1)dx/(1−x^4)^1/2=1/√2F(k,φ1)

  k=1/√2

  φ1=arccos(c)

  レムニスケートの全長は4a/√2K(1/√2)

===================================