■レムニスケートの幾何学(その120)

[1]倍角公式

 u√2/(1−u^4)^1/2=(1−(1−z^4)^1/2)^1/2/z

により,

  dz/(1−z^4)^1/2=2du/(1−u^4)^1/2

 これを使って,レムニスケート曲線の第1象限を2等分することができます.

[2]

 (1−u^4)^1/2/u√2=(1−(1−z^4)^1/2)^1/2/z

により,

  dz/(1−z^4)^1/2=−2du/(1−u^4)^1/2

 ここで,

 ∫(0,z)dz/(1−z^4)^1/2=−∫(1,t)2dt/(1−t^2)^1/2=∫(t,1)2dt/(1−t^2)^1/2

を使って,レムニスケート曲線の第1象限を3等分することができます.

 すなわち,

  z=2t(1−t^4)^1/2/(1+t^4),t=z

を解くことになります.

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

 同様に,

  z=2u(1−u^4)^1/2/(1+u^4)

  z=2t(1−t^4)^1/2/(1+t^4),t=z

を解くと,レムニスケート曲線の第1象限を5等分することができます.

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