三角関数は周期２πをもつ一変数一周期の実関数です（ｓｉｎ（ｘ＋２π）＝ｓｉｎｘ）．他の周期はその整数倍２ｎπですから二重周期ではありません．指数関数ｅｘｐ（ｘ）も複素数の世界にはいると，オイラーの等式

　　ｅｘｐ（２πｉ）＝１

よりｅｘｐ（ｚ＋２πｉ）＝ｅｘｐ（ｚ）ですから周期２πｉをもちますが，これも単周期関数です．

　ところが，アーベルとヤコビは一変数二重周期の複素関数，すなわち，

　　ｆ（ｚ＋ｐ＋ｑ）＝ｆ（ｚ＋ｐ）＝ｆ（ｚ＋ｑ）＝ｆ（ｚ）

を満たすような関数を発見し，さらに，ヤコビは二変数四重周期の関数

　　ｆ（ｚ＋ａ＋ｂ，ｗ＋ｃ＋ｄ）＝ｆ（ｚ，ｗ）

を発見しています．このように，複素関数のなかには２重周期をもつものがありますが，これはドーナツ面（円環面）上の関数と見ることができます．なぜなら，ドーナツ面は環状に並べられた円と考えることができるからです．

　ヤコビの楕円関数sn,cn,dnを三角関数に対応する２重周期関数とするならば，ヤコビのテータ関数は指数関数に対応する擬２重周期関数です．保型形式やｑ展開（変数ｑはモジュラー関数の計算では常に登場する）との関連で，今回はヤコビのテータ関数について説明することにしますが，不思議なことにテータ関数は数学のみならず物理とも深く関わっています．

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【１】テータ関数の定義

　まず，テータ関数の導入と定義にあたって，複素平面上の関数で，

　　(1)ｆ（ｚ＋１）＝ｆ（ｚ）

　　(2)ｆ（ｚ＋τ）＝ω（ｚ）ｆ（ｚ）

を満足するものと考えることにします．(1)はｆが周期Ｚをもつこと，(2)はτＺは周期とはならないが，それに近いものであることを意味します．リウヴィルの定理により，２重周期を有する正則な関数は定数しかないので，２重周期性を少し緩めて定数でない関数を求めようという発想です．

　(1)(2)より

　　ω（ｚ）ｆ（ｚ）＝ｆ（ｚ＋τ）＝ｆ（ｚ＋１＋τ）＝ω（ｚ＋１）ｆ（ｚ＋１）＝ω（ｚ＋１）ｆ（ｚ）

したがって，ω（ｚ＋１）＝ω（ｚ）でなければなりませんから，

　　ω（ｚ）＝ｃｅｘｐ（−２πｉｚ）

なる関数を採用することにします．

　一方，周期性の定義(1)より，ｑ＝ｅｘｐ（２πｉｎｚ）のベキ級数としてフーリエ展開をもつので，(1)をフーリエ変換すると

　　ｆ（ｚ）＝Σａnｅｘｐ（２πｉｎｚ）

また，

　　Σａnｅｘｐ（２πｉｎ（ｚ＋τ））＝ｆ（ｚ＋τ）＝ω（ｚ）ｆ（ｚ）＝ｃｅｘｐ（−２πｉｚ）Σａnｅｘｐ（２πｉｎｚ）＝ｃΣａnｅｘｐ（２πｉ（ｎ−１）ｚ）＝ｃΣａn+1ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

　ここで，ｅｘｐ（２πｉｎｚ）の係数を比較すると，ｃａn+1＝ａnｅｘｐ（２πｉｎτ），ａ0＝１とおくと一般に

　　ａn＝ｃ^(-n)ｅｘｐ（πｉｎ（ｎ−１）τ）

となります．

　さらに，ｑ＝ｅｘｐ（πｉτ），ｃ＝ｑ^(-1)とおくことによって，ａn＝ｑ^(n^2)，したがって，

　　ｆ（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｅｘｐ（２πｉｎｚ）

あるいは，ｙ＝ｅｘｐ（πｉｚ）とおくと

　　ｆ（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｙ^(2n)

となります．

　これがθ3（ｚ）の定義ですが，三角関数を用いると

　　θ3（ｚ）＝Σｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　　　 ＝１＋２Σｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

とも表されます．

　テータ関数は２変数ｚ，τ（あるいはｙ，ｑ）の関数なのですが，文献によっては

　　ｑ＝ｅｘｐ（２πｉτ）

　　ｙ＝ｅｘｐ（２πｉｚ）

としていることもあるので注意してください．

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　ヤコビが定義したテータ関数はθ3を含めて４つあります．

　　θ4（ｚ）＝Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｙ^(2n)

　　　　 ＝１＋２Σ(-1)^nｑ^(n^2)ｃｏｓ（２ｎπｚ）

　　θ2（ｚ）＝Σｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σｑ^((n+1/2)^2)ｃｏｓ（２ｎ＋１）πｚ

　　θ1（ｚ）＝1/iΣ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｙ^(2n+1)

　　　　 ＝２Σ(-1)^nｑ^((n+1/2)^2)ｓｉｎ（２ｎ＋１）πｚ

　ｑの指数は整数Ｚや半整数Ｚ＋１／２の２乗ですが，このことから整数あるいは半整数のつくる１次元格子上の２次形式と理解することができます．そして，整数・半整数，交代・非交代の組合せから４つのテータ関数が定義されるというわけです．

　テータ関数はｚ＋１，ｚ＋τに対して

　　θ3（ｚ＋１）＝θ3（ｚ），θ3（ｚ＋τ）＝Ａθ3（ｚ）

　　θ4（ｚ＋１）＝θ4（ｚ），θ4（ｚ＋τ）＝−Ａθ4（ｚ）

　　θ2（ｚ＋１）＝−θ2（ｚ），θ2（ｚ＋τ）＝Ａθ2（ｚ）

　　θ1（ｚ＋１）＝−θ1（ｚ），θ1（ｚ＋τ）＝−Ａθ1（ｚ）

　　　　ここで，Ａ＝ｑ^(-1)ｙ^(-2)

　ｚ＋１／２，ｚ＋τ／２，ｚ＋１／２＋τ／２に対して

　　θ3→　θ4　　　 Ｂθ2　　　iＢθ1

　　θ4→　θ3　　　iＢθ1　　 　Ｂθ2

　　θ2→−θ1　　　 Ｂθ3　　−iＢθ4

　　θ1→　θ2　　　iＢθ4　　 　Ｂθ3　　　Ｂ＝ｑ^(-1/4)ｙ^(-1)

を得ることができます．

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