オイラーは

　　ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2

を一般化して，

　　ｄｘ／（Ａ＋２Ｂｘ＋２Ｄｘ^3＋Ｅｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（Ａ＋２Ｂｙ＋２Ｄｙ^3＋Ｅｙ^4）^1/2

　　０＝α＋２β（ｘ＋ｙ）＋γ（ｘ^2＋ｙ^2）＋２δｘｙ＋２εｘｙ（ｘ＋ｙ）＋ζｘ^2ｙ^2＝０

の関係は，β，εが定まることによって

　　γ＝（Ａε^2−Ｅβ^2）／（Ｂε^2−Ｄβ^2），

　　α＝（β^2−Ａ）／γ，ζ＝（β^2−Ｅ）／γ，

　　δ＝γ＋（Ｂ＋αε）／β

により定まることを発見しました．

　たとえば，

　　ｄｘ／（１＋ｘ^3）^1/2＝ｄｙ／（１＋ｙ^3）^1/2

の場合は，Ａ＝１，Ｂ＝０，Ｃ＝０，Ｄ＝１／２，Ｅ＝０とおくと，

　　４ｃ＋４ｃ^2（ｘ＋ｙ）−ｘ^2−ｙ^2＋２ｘｙ＋２ｃｘｙ（ｘ＋ｙ）−ｃ^2ｘ^2ｙ^2＝０

　　ｙ＝｛２ｃ^2＋ｘ＋ｃｘ^2±２（ｃ（１＋ｃ^3）（１＋ｘ^3））^1/2｝／｛１−２ｃｘ＋ｃ^2ｘ^2｝

を見つけています．

　さらに，一般化して

　　ｍｄｘ／（Ａ＋２Ｂｘ＋２Ｄｘ^3＋Ｅｘ^4）^1/2＝ｎｄｙ／（Ａ＋２Ｂｙ＋２Ｄｙ^3＋Ｅｙ^4）^1/2

に進んでいきました．

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