ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2

　したがって，

　　ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2−１＝０

は

　　ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2

の解である．

　さらに，一般解は

　　ｃ^2ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１−ｃ^4）

となる．

［１］ｃ＝０のとき，ｘ^2＋ｙ^2＝２ｘｙ

　　これはｘ＝ｙと同等である．

［２］ｃ＝１のとき，ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2−１＝０

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　これを解くと，

　　ｘ＝｛ｙ（１−ｃ^4）^1/2＋ｃ（１−ｙ^4）^1/2｝／（１＋ｃ^2ｙ^2）

　　∫(0,y)ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2＋∫(0,c)ｄｃ／（１−ｃ^4）^1/2＝∫(0,x)ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2

となって，「レムニスケート積分の加法定理」が得られる．

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