ｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2

を一般化して

　　ｍｄｘ／（１−ｘ^4）^1/2＝ｎｄｙ／（１−ｙ^4）^1/2

を考えたいのですが，その前に変数変換を考えてみましょう．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ａ^2ｄｚ／（ａ^2−ｚ^4）^1/2

において，

　　ｕ＝ａ｛（ａ^2−ｙ^2）／（ａ^2＋ｙ^2）｝^1/2

と変数変換すると

　∫(0,z)ａ^2ｄｚ／（ａ^2−ｚ^4）^1/2＝−∫(a,u)ａ^2ｄｕ／（ａ^2−ｕ^4）^1/2

となって，レムニスケート積分をレムニスケート積分に移すことができます．

　すなわち，

　　ｕ＝ａ｛（ａ^2−ｙ^2）／（ａ^2＋ｙ^2）｝^1/2

は，微分方程式

　　ａ^2ｄｚ／（ａ^2−ｚ^4）^1/2＝−ａ^2ｄｕ／（ａ^2−ｕ^4）^1/2

の解を与えます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝