■レムニスケートの幾何学(その94)

 レムニスケートサインのn倍角公式を用いたレムニスケートのn等分点についてまとめておきたい.

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[1]3等分点

 3倍角の公式

  sl(3u)=sl(u)(3−6sl^4(u)−sl^8(u))/(1+6sl^4(u)−3sl^8(u))

 u=ω/3とおくと,sl(3u)=0であるから,

  3−6sl^4(u)−sl^8(u)=0

を満たす.この方程式の実根は

  sl(u)=(2√3−3)^1/4

である.

[2]4等分点

  sl(ω/2−u)=sl’(u)/{1+sl^2(u)}

  u=ω/4,r=sl(u),sl’(u)=(1−sl^4(u))^1/2

より,

  r=(1−r^4)/(1+r^2)→r=(√2−1)^1/2

  P4(x)=4(1+x)(1−6x+x^2)=0

  x=3−2√2ではない.

[3]5等分点

  P5(s)=(5−2s^4+s^8)(1−12s^4−26s^8+52s^12+s^16)=0

  s={−13+6√5−2(85−38√5)^1/2}^1/4=0.52047

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