■レムニスケートの幾何学(その85)

 微分方程式

  dy/{(1-c^2y^2)(1-e^2y^2)}^(1/2)=a・dx/{(1-c^2x^2)(1-e^2x^2)}^(1/2)

を満たすようなxの有理または無理代数関数yをすべて求める問題は,特別な場合として変数の倍加(等分)の問題も含んでいます.

  (1-c^2x^2)(1-e^2x^2)=1+mx^2+nx^4

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【1】y^2=F(x)=1+mx^2+nx^4の場合の加法定理

 このとき,微分方程式

  dx/(1+mx^2+nx^4)^1/2=dy/(1+my^2+ny^4)

の一般解は

  −nc^2x^2y^2+x^2+y^2=c^2+2xy(1+mc^2+nc^4)^1/2

で与えられる.

 yに関する2次方程式

  y^2(1−c^2x^2)−2yx(1+mc^2+nc^4)^1/2x+x^2−c^2=0

を解いて,

  y={x(1+mc^2+nc^4)^1/2±c(1+mx^2+nx^4)^1/2}/(1−nc^2x^2)

 c=0の場合が自明な解x=y.1+mc^2+nc^4=0の場合,

  y=c(1+mx^2+nx^4)^1/2/(1−nc^2x^2)

が反転公式である.

 ここで,適宜変数を置き換えると,加法・減法公式

  x’={x(1+my^2+ny^4)^1/2±y(1+mx^2+nx^4)^1/2}/(1−nx^2y^2)

が得られる.レムニスケートではm=0,n=−1より,加法・減法公式は

  x’={x(1−y^4)^1/2±y(1−x^4)^1/2}/(1+x^2y^2)

 楕円曲線y^2=1+mx^2+nx^4において,A(0,1),B(a,b)にとれば,b^2=1+ma^2+na^4となるが,このとき,加法・減法公式は

  x’=(bx±ay)/(1−na^2x^2)

と表すことができる.さらに加法公式においてx=yとおけば,

  x’=2xy/(1−nx^4)=2x(1+mx^2+nx^4)^1/2/(1−nx^4)

となって,倍角公式を得ることができる.

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