微分方程式

　　dy/{(1-c^2y^2)(1-e^2y^2)}^(1/2)=a･dx/{(1-c^2x^2)(1-e^2x^2)}^(1/2)

を満たすようなｘの有理または無理代数関数ｙをすべて求める問題は，特別な場合として変数の倍加（等分）の問題も含んでいます．

　　(1-c^2x^2)(1-e^2x^2)＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4

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【１】ｙ^2＝Ｆ（ｘ）＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4の場合の加法定理

　このとき，微分方程式

　　ｄｘ／（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2＝ｄｙ／（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）

の一般解は

　　−ｎｃ^2ｘ^2ｙ^2＋ｘ^2＋ｙ^2＝ｃ^2＋２ｘｙ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2

で与えられる．

　ｙに関する２次方程式

　　ｙ^2（１−ｃ^2ｘ^2）−２ｙｘ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2ｘ＋ｘ^2−ｃ^2＝０

を解いて，

　　ｙ＝｛ｘ（１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4）^1/2±ｃ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｃ^2ｘ^2）

　ｃ＝０の場合が自明な解ｘ＝ｙ．１＋ｍｃ^2＋ｎｃ^4＝０の場合，

　　ｙ＝ｃ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｃ^2ｘ^2）

が反転公式である．

　ここで，適宜変数を置き換えると，加法・減法公式

　　ｘ’＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2±ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）

が得られる．レムニスケートではｍ＝０，ｎ＝−１より，加法・減法公式は

　　ｘ’＝｛ｘ（１−ｙ^4）^1/2±ｙ（１−ｘ^4）^1/2｝／（１＋ｘ^2ｙ^2）

　楕円曲線ｙ^2＝１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4において，Ａ（０，１），Ｂ（ａ，ｂ）にとれば，ｂ^2＝１＋ｍａ^2＋ｎａ^4となるが，このとき，加法・減法公式は

　　ｘ’＝（ｂｘ±ａｙ）／（１−ｎａ^2ｘ^2）

と表すことができる．さらに加法公式においてｘ＝ｙとおけば，

　　ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）

となって，倍角公式を得ることができる．

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