レムニスケートサインとワイエルシュトラスのペー関数の関係は，

　　ｓｌ（ｚ）＝－２ｐ1（ｚ）／ｐ1’（ｚ）

　　ｓｌ’（ｚ）＝（４ｐ1（ｚ）^2－１）／（４ｐ1（ｚ）^2＋１）

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【１】レムニスケート積分からワイエルシュトラスの標準形へ

　レムニスケート周長

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

の５等分問題を扱うには，２００８年に行った定式化ではうまくいきそうになく，ワイエルシュトラスの標準形

　 ∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)

の特別な場合として扱ったほうが容易であった．

　　∫(0,x)1/(1-x^4)^(1/2)dx

は変数変換

　　ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝－ｚ^(-3/2)／２ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(4z^3-4z)^(1/2)dz

となる．これは慣用の記号でｇ2＝４，ｇ3＝０のワイエルシュトラスの標準形である．

　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると

［１］微分方程式は

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3－４ｐ

　　ｐ”＝６ｐ^2－２

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3－７２ｐ

［２］加法定理

　　ｐ（ｕ＋ｖ）＝－ｐ（ｕ）－ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝－ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝－ｐ（ｖ｝）｝^2

は，ｖ→ｕの極限で倍角公式

　　ｐ（２ｕ）＝－２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝－２ｐ＋１／４・（６ｐ^2－２）^2／（４ｐ^3－４ｐ）

　＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3－４ｐ）

を得る．

　以下，ｖ→２ｕ，３ｕ，４ｕとすると３倍角，４倍角，５倍角公式が得られる．それとて加法公式が格段と簡単になるわけではないが，レムニズケートサインの有理関数表現と同様になることがわかるだろう．

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【２】∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

　レムニスケート周長

　　∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

の５等分問題を扱う前に，

　　∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

について考えてみたい．

　変数変換

　　ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝－ｚ^(-3/2)／２ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(4z^3-4)^(1/2)dz

となる．これは慣用の記号でｇ2＝０，ｇ3＝４のワイエルシュトラスの標準形である．

　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると

［１］微分方程式は

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3－４

　　ｐ”＝６ｐ^2

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3－４８

［２］加法定理

　　ｐ（ｕ＋ｖ）＝－ｐ（ｕ）－ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝－ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝－ｐ（ｖ｝）｝^2

は，ｖ→ｕの極限で倍角公式

　　ｐ（２ｕ）＝－２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝－２ｐ＋１／４・（６ｐ^2）^2／（４ｐ^3－４）

　＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3－４）

を得る．

　∫1/(1-x^6)^(1/2)dxは1/2･∫1/(x^3-1)^(1/2)dxに帰着されたが，このことから

　　ｒ^3＝ｃｏｓ（３ｔ）

は定規とコンパスだけで弧長を１／３，１／５，・・・倍にする作図が不可能であることが示される．

　　∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx

は，第１種楕円積分の標準形（ヤコビの形）

　 F(k,φ)=∫(0,φ)dθ/(1-k^2sin^2θ)^(1/2)

を使うと

　　∫(0,z)1/(1-x^3)^(1/2)dx＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ）

　　φ＝ａｒｃｃｏｓ（（√３－１＋ｘ）／（√３＋１－ｘ））

　　ｋ＝（√３＋１）／２√２

　　∫(0,z)1/(x^3-1)^(1/2)dx

は，

　　∫(0,z)1/(x^3-1)^(1/2)dx＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ）

　　φ＝ａｒｃｃｏｓ（（ｘ－√３－１）／（ｘ＋√３－１））

　　ｋ＝（√３－１）／２√２

と表される．　　　一松，数学公式Ⅰ，ｐ１４８，岩波

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