■レムニスケートの幾何学(その70)

  ∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3(1/3)/2^(4/3)3^(1/2)π

を得るには,ガンマ関数の乗法公式(倍数公式)

  Γ(x/2)Γ((x+1)/2)=π^(1/2)Γ(x)/2^(x-1)

と相反公式(相補公式)

  Γ(x)Γ(1-x)=π/sinπx

また,

  ∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2(1/4)/2^(5/2)π^(1/2)

を得るには乗法公式を用いています.

[1]n=1:Γ(1)√π/Γ(3/2)=2

[2]n=2:Γ(1/2)√π/2Γ(1)=π/2=1.5708

[3]n=3:Γ(1/3)√π/3Γ(5/6)=1.40218

[4]n=4:Γ(1/4)√π/4Γ(3/4)=1.31103

[5]n=5:Γ(1/5)√π/5Γ(7/10)=1.25373

[6]n=6:Γ(1/6)√π/6Γ(2/3)=1.21433

[7]n→∞のとき,

  ∫(0,1)1/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ(1/n)Γ(1/2)/nΓ(1/n+1/2)→Γ(1/n)/n=Γ(1+1/n)→Γ(1)=1

この結果は図形的に考察すれば明らかである.

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