■レムニスケートの幾何学(その43)

 レムニスケートサイン同様に,レムニスケートコサインも商の形に表示して

  sl(u)=M(u)/N(u),cl(u)=m(u)/n(u)

とおくと,

  M(2u)=2M(u)N(u)m(u)n(u)

  N(2u)=M(u)^4+N(u)^4

となる.

 すなわち,

[1]レムニスケートサインの倍角公式の分子は,レムニスケートサインの分子・分母,レムニスケートコサインの分子・分母の積の2倍に等しい.

[2]レムニスケートサインの倍角公式の分母は,分子^4+分母^4に等しい.

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【1】雑感

 本HPではこれまでのところ,ポンスレーの定理のn=8までグレブナー基底を求めることができているが,もっと大きなnに対しても基底を求めたい.

 ところで,ポンスレーの定理の証明は,楕円積分に帰着される.レムニスケートのn等分に用いた方法が,ポンスレーの定理にも用いることができるならば,それが可能になると思われる.

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