レムニスケートサインのｎ倍角公式を用いたレムニスケートのｎ等分点についてまとめておきたい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［１］３等分点

　３倍角の公式

　　ｓｌ（３ｕ）＝ｓｌ（ｕ）（３－６ｓｌ^4（ｕ）－ｓｌ^8（ｕ））／（１＋６ｓｌ^4（ｕ）－３ｓｌ^8（ｕ））

　ｕ＝ω／３とおくと，ｓｌ（３ｕ）＝０であるから，

　　３－６ｓｌ^4（ｕ）－ｓｌ^8（ｕ）＝０

を満たす．この方程式の実根は

　　ｓｌ（ｕ）＝（２√３－３）^1/4

である．

［２］４等分点

　　ｓｌ（ω／２－ｕ）＝ｓｌ’（ｕ）／｛１＋ｓｌ^2（ｕ）｝

　　ｕ＝ω／４，ｒ＝ｓｌ（ｕ），ｓｌ’（ｕ）＝（１－ｓｌ^4（ｕ））^1/2

より，

　　ｒ＝（１－ｒ^4）／（１＋ｒ^2）→ｒ＝（√２－１）^1/2

　　Ｐ4（ｘ）＝４（１＋ｘ）（１－６ｘ＋ｘ^2）＝０

　　ｘ＝３－２√２ではない．

［３］５等分点

　　Ｐ5（ｓ）＝（５－２ｓ^4＋ｓ^8）（１－１２ｓ^4－２６ｓ^8＋５２ｓ^12＋ｓ^16）＝０

　　ｓ＝｛－１３＋６√５－２（８５－３８√５）^1/2｝^1/4＝０．５２０４７

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝