レムニスケートサインを分数の形にして，分母と分子に分けてかつ漸化式表示すると，おおきなベネフィットが得られることがわかった．

　私はｓｌ（ｎｕ）が有理関数になるとは思っていなかったが，有理関数であれば，ｓｌ（ｎｕ）＝０であろうがｓｌ（ｎｕ）＝１であるが，計算の難易度には差がないことになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　同様に，レムニスケートコサインも商の形に表示して

　　ｓｌ（ｕ）＝Ｍ（ｕ）／Ｎ（ｕ），ｃｌ（ｕ）＝ｍ（ｕ）／ｎ（ｕ）

とおくと，

　　Ｍ（２ｕ）＝２Ｍ（ｕ）Ｎ（ｕ）ｍ（ｕ）ｎ（ｕ）

　　Ｎ（２ｕ）＝Ｍ（ｕ）^4＋Ｎ（ｕ）^4

となる．

　すなわち，

［１］レムニスケートサインの倍角公式の分子は，レムニスケートサインの分子・分母，レムニスケートコサインの分子・分母の積の２倍に等しい．

［２］レムニスケートサインの倍角公式の分母は，分子^4＋分母^4に等しい．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［雑感］

　sl(nu)のnを偶数と奇数にわけた所までは良かった。結局、slを再帰的に定義したことで、Mathematicaが「正直」に計算してくれた。

　ガウスが一般のnについて、言及しているので、Mathematicaの計算結果を変形して方程式を導出する事に疑問を抱いた。

　たぶん、何らかの漸化式を導出するのでは、と思った。そう思いながら、インターネットで検索したら、あのpdf

http://www.juen.ac.jp/math/nakagawa/ellfunc.pdf

を見つけた。　　（阪本ひろむ）

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝