■レムニスケートの幾何学(その24)

 ガウスの計算例では次数n^2の方程式が得られるとのことであるが,ガウスのように分割の仕方を変えて計算すると,次数が下がるとか何かアドバンテージがあるのだろうか?

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【1】レムニスケートサインのn倍角公式

 レムニスケートサインの加法定理

  sl(u+v)=(sl(u)sl'(v)+sl(v)sl'(u))/(1+sl^2(u)sl^2(v))

より,

  sl(2u)=2sl(u)sl'(u)/(1+sl^4(u))

  sl(3u)=(sl(2u)sl'(u)+sl(u)sl'(2u))/(1+sl^2(2u)sl^2(u))

  sl(4u)=(sl(3u)sl'(u)+sl(u)sl'(3u))/(1+sl^2(3u)sl^2(u))

  sl(5u)=(sl(4u)sl'(u)+sl(u)sl'(4u))/(1+sl^2(4u)sl^2(u))

  sl(6u)=(sl(5u)sl'(u)+sl(u)sl'(5u))/(1+sl^2(5u)sl^2(u))

また,

  sl'(u)=(1-sl^4(u))^1/2

  sl'(2u)=(1-sl^4(2u))^1/2

  sl'(3u)=(1-sl^4(3u))^1/2

  sl'(4u)=(1-sl^4(4u))^1/2

  sl'(5u)=(1-sl^4(5u))^1/2

を用いて,sl(u)の関数として表すと

  sl(2u)=2sl(u)(1-sl^4(u))^1/2/(1+sl^4(u))

などが得られます.

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【2】まとめ

  sl(5u)=1としてsl(u)を求めるのと,sl(5u)=0としてsl(u)を求めるのとでは,後者では分母を考える必要がなくなるため,計算の難易度が異なってくることが考えられます.

 そして,最後に倍角(半角)の公式を使って,換算すればよいのです.

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