曲線（あるいは弧長）を等分する問題を考えます．たとえば，正多角形の作図は円周等分問題という幾何学問題ですが，１７９６年，ガウスは１９才のときに正１７角形の作図を思いつきました．のみならず，ｎが素数の正ｎ角形について，ｎ＝２2^m＋１が素数の場合に限り定規とコンパスだけで作図可能であることを発見しています．

　正ｎ角形の作図において，ｎは異なるフェルマー素数か２のベキ乗との積

　　ｎ＝２^kΠＦm

でなければなりません．したがって，

［１］ｎ＝２，３，４，５，６，８，１０，１２，１５，１６，１７，２０，２４，３０　→　作図可能

［２］ｎ＝７，９，１１，１３，１４，１８，１９，２１，２２，２３，２５　→　作図不可能

となって，幾何学的に解ける正奇数角形は，２^5−１＝３１通り，最大

　　３・５・１７・２５７・６５５３７＝４２９４９６７２９５

角形まであります．

　また，等分可能性を示すことと実際の等分点を与えることは別問題で，たとえば，円の１７等分点のｘ座標（の２倍）は

　　２ｃｏｓ（２π／１７）＝１／８｛−１＋√１７＋√（３４−２√１７）＋２√（１７＋３√１７＋√（１７０−２６√１７）−４√（３４＋２√１７）｝＝１．８６４９４

となります．

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　これまで調べた曲線では

［１］任意等分可能・・・・・・直線，カージオイド，サイクロイド族

［２］２^mΠｐi 等分可能・・・円，レムニスケート

［３］２^m等分可能・・・・・・ｒ^3/2＝ｃｏｓ（３θ／２），ｒ^3＝ｃｏｓ（３θ）

［４］２等分すら不可能・・・・ｒ^5/2＝ｃｏｓ（５θ／２），ｒ^n/2＝ｃｏｓ（ｎθ／２）　　　（ｎ≧６）

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