２等分点はｐ（ｕ）＝１＋√２　　（作図可能）

　３等分点はｐ（ｕ）＝１＋√３＋√（３＋２√３）　　（作図可能）

さらに，

　ｐ（５ｕ）＝１

を解いて，

　　ｐ（ｕ）＝ｗ，ｚ＝１／√ｗ

とすると，

　　ｗ＝（２＋√５＋√（５＋２√５））＋√（−１＋（２＋√５＋√（５＋２√５））^2）＝１４．５５８８　　（作図可能）

　（その１８）では結果のみ示したが，計算方法も示しておきたい．

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【１】レムニスケート積分からワイエルシュトラスの標準形へ

　しかし，５等分点ともなると，Mathematicaで展開しても言葉が一切入らない数式が数ページにもおよび，どうしても５等分点は得られなかった．レムニスケート周長の５等分問題を扱うには，レムニスケートサインによる定式化ではうまくいきそうになく，ワイエルシュトラスの標準形

　 ∫(∞,0)du/(4u^2-g2u-g3)^(1/2)

の特別な場合として扱うことにした．ワイエルシュトラスのペー関数ｐの加法公式は，レムニズケートサインの場合とは異なり，有理関数となるから，計算上のアドバンテージが得られるからだ．

　　∫(0,x)1/(1-x^4)^(1/2)dx

は変数変換

　　ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝−ｚ^(-3/2)／２ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(4z^3-4z)^(1/2)dz

となる．これは慣用の記号でｇ2＝４，ｇ3＝０のワイエルシュトラスの標準形である．

　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると

［１］微分方程式は

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3−４ｐ

　　ｐ”＝６ｐ^2−２

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−７２ｐ

［２］加法定理

　　ｐ（ｕ＋ｖ）＝−ｐ（ｕ）−ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝−ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝−ｐ（ｖ｝）｝^2

は，ｖ→ｕの極限で倍角公式

　　ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2−２）^2／（４ｐ^3−４ｐ）

　＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）

を得る．

　以下，ｖ→２ｕ，３ｕ，４ｕとすると３倍角，４倍角，５倍角公式が得られる．ここで，レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すために

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）

において，ｐ（ｕ）＝ｐ，ｐ（２ｕ）＝１とおく．すると，

　　（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）＝（４ｐ^3−４ｐ）

より，ｐ=1+√2=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝(-1+√2)^1/2=0.643594（→作図可能）

　こうして，ファニャーノはレムニスケートの四半弧を同じ長さの２つの弧へ分解することができることを示した．もう一度この手続きを繰り返すと４半角公式，２等分を３回繰り返すと８半角公式，・・・．これによって１／２^n倍に対する値が導かれる．

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝１＋√２

を解く．解析解はとても長くなるが，作図可能であることを示すことができる（近似解のみを示すと，ｐ＝９．３３０３４）．引き続き

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋２ｐ^2＋１）／（４ｐ^3−４ｐ）＝９．３３０３４

を解いて，ｐ＝３７．２４０７．

　２等分点はｐ（ｕ）＝１＋√２　　（作図可能）

　３等分点はｐ（ｕ）＝１＋√３＋√（３＋２√３）　　（作図可能）

さらに，

　ｐ（５ｕ）＝１

を解いて，

　　ｐ（ｕ）＝ｗ，ｚ＝１／√ｗ

とすると，

　　ｗ＝（２＋√５＋√（５＋２√５））＋√（−１＋（２＋√５＋√（５＋２√５））^2）＝１４．５５８８　　（作図可能）

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【２】∫1/(1-x^6)^(1/2)dxの場合

　ついでに

　　∫1/(1-x^6)^(1/2)dx

について考えてみたい．変数変換

　　ｘ＝１／√ｚ，ｄｚ＝−ｚ^(-3/2)／２ｄｚ

により

　　∫(x,∞)1/(4z^3-4)^(1/2)dz

となる．これは慣用の記号でｇ2＝０，ｇ3＝４のワイエルシュトラスの標準形である．

　ワイエルシュトラスのペー関数ｐ（ｕ）を単にｐと略記すると

［１］微分方程式は

　　（ｐ’）^2＝４ｐ^3−４

　　ｐ”＝６ｐ^2

　　ｐ^(3)＝１２ｐｐ’

　　ｐ^(4)＝１２０ｐ^3−４８

［２］加法定理

　　ｐ（ｕ＋ｖ）＝−ｐ（ｕ）−ｐ（ｖ）＋１／４｛（ｐ’（ｕ｝−ｐ’（ｖ｝）／（ｐ（ｕ｝−ｐ（ｖ｝）｝^2

は，ｖ→ｕの極限で倍角公式

　　ｐ（２ｕ）＝−２ｐ（ｕ）＋１／４｛ｐ”（ｕ｝／ｐ’（ｕ｝｝^2

　＝−２ｐ＋１／４・（６ｐ^2）^2／（４ｐ^3−４）

　＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）

を得る．

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ

　　ｘ＝１／√ｚ＝((-1+√3)/2)^1/2

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１

より，ｐ=1+√3=ｚ（→作図可能）．

　次に

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１＋√３

を解く．解析解はとても長くなる．近似解のみを示すと

　　ｐ＝１０．８５１７

　引き続き

　　ｐ（２ｕ）＝（ｐ^4＋８ｐ）／（４ｐ^3−４）＝１０，８５１７

を解いて，ｐ＝４３．４０２１．

　すなわち，この曲線は定木とコンパスで弧長が２等分，４等分，８等分できることがわかったが，３等分点は

　　ｐ（ｕ）＝２＋２・２^1/3＋^2/3

で作図不可能であることも示される．

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【３】∫1/(1-x^3)^(1/2)dxの場合・・・第１種楕円積分の標準形への還元

　積分

　　Ｉ＝∫(c,1)ｄｘ／（１−ｘ^3）^1/2

を考える．変換

　　ｙ＝（λｘ＋μ）／（νｘ＋ρ），ｘ＝（−ρｙ＋μ）／（νｙ−λ）

を適当に選ぶことにより，常に

　　ｄｙ／（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2

の形に還元できる．

　　λ＝−１，μ＝１−√３，ν＝１，ρ＝−１＋√３

　ｘ＝ｃに対するｙの値を

　　ｙ1＝（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３）

とおくと

　　Ｉ＝１／4√３∫(y1,1)２ｄｙ／（（１−ｙ^2）（２−√３＋（２＋√３）ｙ^2）^1/2

　ここで，ｙ^2＝１−ｚ^2，ｚ1^2＝１−ｙ1^2とおくと第１種楕円

　　Ｉ＝１／4√３∫(0,z1)ｄｚ／（（１−ｚ^2)（１−ｋ^2ｚ^2）^1/2＝１／4√３Ｆ（ｋ，φ1）

となる．ただし，

　　ｋ＝（√２＋√６）／４，ｋ^2＝（２＋√３）／４

　　φ1＝ａｒｃｃｏｓ（（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３））＝ａｒｃｓｉｎ（（１−ｙ1^2）^1/2）

　　ｓｉｎφ1＝ｚ1，ｚ1＝（１−ｙ1^2）^1/2

　　ｃ＝１→ｚ1＝０

　　ｃ＝０→ｚ1＝（４√３−６）^1/2＝α

　ところで，第１種楕円積分の標準形

F(k,x)=∫(0,x)1/{(1-x^2)(1-k^2x^2)}^(1/2)f(x)dx

については加法公式が使える．これで，この曲線の弧長を求める問題は，加法公式

　　ｚ＝｛ｘ（１＋ｍｙ^2＋ｎｙ^4）^1/2＋ｙ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2｝／（１−ｎｘ^2ｙ^2）

　　ｍ＝−（１＋ｋ^2），ｎ＝ｋ^2，α＝（４√３−６）^1/2

の問題に還元されたことになる．

　倍角公式

　　ｘ’＝２ｘｙ／（１−ｎｘ^4）＝２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）

より，２等分点に対応する楕円曲線上の点

　　２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α

の解をｘ＝βとすると，

　　１−（（ｃ−１＋√３）／（−ｃ＋１＋√３））^2＝β^2

　　ｃ＝√３＋１−２√３／（（１−β^2）^1/2＋１）

がこの曲線の２等分点である．

　　２ｘ（１＋ｍｘ^2＋ｎｘ^4）^1/2／（１−ｎｘ^4）＝α

を求めたところ，解析解

　　ｘ＝−１＋√３

が得られた．

　したがって，２等分点は

　　ｃ＝√３＋１−（２√３＋３）（１−√（２√３−３）＝０，６７１６１８（→作図可能）．４等分点，８等分点も同様に計算することができる．

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