■レムニスケートの幾何学(その16)

 (その15)と同じテーマについて,再考する.すなわち,

  ∫1/(1-x^2)^(1/2)dx

は円(2次曲線),

  ∫1/(1-x^4)^(1/2)dx

はレムニスケート(4次曲線)に対応していますが,周長が

  ∫1/(1-x^3)^(1/2)dx

  ∫1/(1-r^3)^(1/2)dx

で表される曲線はどのようなものになるでしょうか?

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【1】1/(1-t^3)^(1/2)

 この円と双葉の中間に位置する幾何学的対象物は,微分方程式

  (1+(dy/dx)^2)^(1/2)=1/(1-x^3)^(1/2)

  dy/dx=(x^3/(1-x^3))^(1/2)

あるいは

  {1+(rdθ/dr)^2}^(1/2)=1/(1-r^3)^(1/2)

  dθ/dr=(r/(1-r^3))^(1/2)

を満たさなければなりませんが,このことから12次曲線

  r^(3/2)=cos(3/2θ)

が得られます.

  r^2=x^2+y^2,x=rcosθ,y=rsinθ

  cos3θ=4cos^3θ−3cosθ

  cos^2(3θ/2)=(1+cos3θ)/2=(4cos^3θ−3cosθ+1)/2

ですから

  2r^3−1=4x^3/r^3−3x/r

  2r^6−r^3=4x^3−3xr^2

  (2r^6−4x^3+3xr^2)^2=r^6

  (2(x^2+y^2)^3−4x^3+3x(x^2+y^2))^2=(x^2+y^2)^3 → 12次曲線(3次曲線ではありません!)

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