ガウスは１７９６年に

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^3)^(1/2)f(t)dt

の逆関数，その翌年には

　　u=F(x)=∫(0,x)1/(1-t^4)^(1/2)f(t)dt

の逆関数について考察しています．

　　ω=∫(0,1)1/(1-t^4)^(1/2)f(t)dt

がレムニスケートの第１象限内の弧長ですから，レムニスケート曲線の全長は４ωになります．

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　レムニスケート（連珠形）には円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることはよく知られている．ガウスはレムニスケートの等分問題から楕円関数を発見している．言い替えれば，方程式論には楕円関数論という背景があったのである．

　しかし，この方程式を解くことは言うは易しいが，実行するにはかなり忍耐がいる．私も１回だけやってみたが結果はMathematicaなしには（私には）到達できなかったのも事実である．

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【１】ベルヌーイのレムニスケートのｎ等分点

　ベルヌーイのレムニスケートの方程式は

　　（ｘ^2＋ｙ^2）^2＝ｘ^2−ｙ^2

である．

　第１象限にある部分だけを考えることにして，この弧は原点Ｏ（０，０）を始点，Ｐ（１，０）を終点としてパラメータｚ（０≦ｚ≦１）を用いれば，

　　ｘ^2＝１／２（ｚ^2＋ｚ^4），ｙ^2＝１／２（ｚ^2−ｚ^4）

と表せる．

　この線素は

　　ｄｓ＝（ｄｘ^2＋ｄｙ^2）^1/2＝ｄｚ／（１−ｚ^4）^1/2

で与えられ，倍角公式

　　ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）

はｄｓを２ｄｓに変える．

　　２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）＝１

と置くことによって

　　ｚ^2＝√２−１

が得られる．

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【２】反転公式

　写像

　　ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2

によりＯとＰは移り合い，弧ＯＰは自分自身に移り弧長ＯＰは保存される．

　Ｑを弧ＯＰ上の点とするとき，弧ＯＱは等しい長さの弧ＱＰに移される．

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【３】オイラーの加法定理

　１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）

との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））

を構成することに成功しています．

　とくに，ｙ＝１の場合，反転公式

　　ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2

ｙ＝ｘの場合，倍角公式

　　ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）

を与えるというわけです．

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【４】ファニャーノの変数変換＝ランデン変換

　　f(t)=1/(1-t^2)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

において，ｔ＝２ｖ／（１＋ｖ^2）と置換すると

　　(1-t^2)^(1/2)=(1-v^2)/(1+v^2)

　　dt=2(1-v^2)dv/(1+v^2)^2

より

　　dt/(1-t^2)^(1/2)=2･dv/(1+v^2)

　レムニスケート

　　f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

においても類似の置換に導かれて，ｔ^2＝２ｖ^2／（１＋ｖ^4）と置換すると

　　(1-t^4)^(1/2)=(1-v^4)/(1+v^4)

　　2tdt=4v(1-v^4)dv/(1+v^4)^2

より

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=√2･dv/(1+v^4)^(1/2)

　さらに，ｖ^2＝２ｗ^2／（１−ｗ^4）と置換すると

　　(1+v^4)^(1/2)=(1+w^4)/(1-w^4)

　　2vdv=4w(1+w^4)dv/(1-w^4)^2

より

　　dv/(1+v^4)^(1/2)=√2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　これらの置換を行った結果，ファニャーノは

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

であることを見いだします．これに対応する積分間での関係がファニャーノの倍角公式

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt

というわけです．これらの公式は２つの曲線：ｔ^2＝１−ｚ^4，ｗ^2＝１＋ｕ^4の間の次数２のランデン変換です．

　ファニャーノはレムニスケート弧長の２等分を与える

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

を見いだしましたが，同時に複素数による楕円積分の例

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=(1+i)･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=2iw^2/(1-w^4)

　　sl((1+i)u)=(1+i)sl(u)/(1-sl^4(u))^1/2

も得ています．ηを１の８乗根η=(1+i)/√2として，uをηuで置き換えると曲線ｔ^2＝１−ｚ^4上の１±ｉの虚数乗法の公式が得られます．

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