レムニスケートには円に共通する性質があり，定規とコンパスだけで奇数のｎ等分することができる必要十分条件はｎがフェルマー素数（ｎ＝２2^m＋１の形の素数：３，５，１７，２５７，６５５３７）であることです．

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【１】ファニャーノの変数変換

　　f(t)=1/(1-t^2)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

において，ｔ＝２ｖ／（１＋ｖ^2）と置換すると

　　(1-t^2)^(1/2)=(1-v^2)/(1+v^2)

　　dt=2(1-v^2)dv/(1+v^2)^2

より

　　dt/(1-t^2)^(1/2)=2･dv/(1+v^2)

　レムニスケート

　　f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

においても類似の置換に導かれて，ｔ^2＝２ｖ^2／（１＋ｖ^4）と置換すると

　　(1-t^4)^(1/2)=(1-v^4)/(1+v^4)

　　2tdt=4v(1-v^4)dv/(1+v^4)^2

より

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=√2･dv/(1+v^4)^(1/2)

　さらに，ｖ^2＝２ｗ^2／（１−ｗ^4）と置換すると

　　(1+v^4)^(1/2)=(1+w^4)/(1-w^4)

　　2vdv=4w(1+w^4)dv/(1-w^4)^2

より

　　dv/(1+v^4)^(1/2)=√2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　これらの置換を行った結果，ファニャーノは

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

であることを見いだします．これに対応する積分間での関係がファニャーノの倍角公式

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt

というわけです．

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【２】レムニスケート弧長の２等分

　ファニャーノはレムニスケートの四半弧を同じ長さの２つの弧へ分解することができることを示しました．これによって，２^n倍あるいは１／２^n倍に対する公式も導かれます．

　レムニスケートの４半弧を定規とコンパスで２等分できることを示すために，

　　sl(u)=2sl(u/2)(1-sl^4(u/2))^1/2/(1+sl^4(u/2))

において，sl(u/2)=v,sl(u)=1とおくことにします．すると，

　　v^8+4v^6+2v^4-4v^2+1=0

　　(v^4+1/v^4)+4(v^2-1/v^2)+2=0

　さらにまた，v^2-1/v^2=wとおくと，

　　w^2+4w+4=0よりw=-2

より，v=(-1+√2)^1/2=0.643594

　奇数ｎ＝２ｍ＋１に対して，ｎ次方程式ｘ^n−１＝０は新しい変数としてｙ＝ｘ＋１／ｘをとることによって方程式の次数をｍ＝（ｎ−１）／２次に減らせた方程式に帰着されますが，この公式でも同様にｙ＝ａｘ＋ｂ／ｘとおくことによって求めたのでした．

　もう一度この手続きを繰り返すと，４半角公式も導かれます．

　　a^2v^8+4v^6+2a^2v^4-4v^2+a^2=0,a=(-1+√2)^1/2

　　(v^4+1/v^4)+4/a^2(v^2-1/v^2)+2=0

v^2-1/v^2=wとおくと，

　　w^2+4/a^2w+4=0よりw=-2/a^2･(1+(1-a^4)^1/2)=b

より，v=((b+√(b^2+4))/2)^1/2

ここで，c=1+√2,d=c^2-1とおくと

　　v=(-c+(2c)^1/2+(2d+3d/c^1/2)^1/2)^1/2=0.327379

　この式は平方根だけを含む式なので幾何学的に作図できる方法になっています．

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