■レムニスケートの幾何学(その8)

【3】オイラーの加法定理

 1751年,オイラーは逆正弦関数の加法定理

  G(x)+G(y)=G(x(1−y^2)^1/2+y(1−x^2)^1/2)

との類似に基づいて,レムニスケート積分に対する加法定理

  G(x)+G(y)=G((x(1−y^4)^1/2+y(1−x^4)^1/2))/(1+x^2y^2))

を構成することに成功しています.

 とくに,y=1の場合,反転公式

  z→{(1−z^2)/(1+z^2)}^1/2

y=xの場合,倍角公式

  z→2z(1−z^4)^1/2/(1+z^4)

を与えるというわけです.

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【4】ファニャーノの変数変換=ランデン変換

  f(t)=1/(1-t^2)^(1/2)

  2u=2∫(0,x)f(t)dt

において,t=2v/(1+v^2)と置換すると

  (1-t^2)^(1/2)=(1-v^2)/(1+v^2)

  dt=2(1-v^2)dv/(1+v^2)^2

より

  dt/(1-t^2)^(1/2)=2・dv/(1+v^2)

 レムニスケート

  f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)

  2u=2∫(0,x)f(t)dt

においても類似の置換に導かれて,t^2=2v^2/(1+v^4)と置換すると

  (1-t^4)^(1/2)=(1-v^4)/(1+v^4)

  2tdt=4v(1-v^4)dv/(1+v^4)^2

より

  dt/(1-t^4)^(1/2)=√2・dv/(1+v^4)^(1/2)

 さらに,v^2=2w^2/(1−w^4)と置換すると

  (1+v^4)^(1/2)=(1+w^4)/(1-w^4)

  2vdv=4w(1+w^4)dv/(1-w^4)^2

より

  dv/(1+v^4)^(1/2)=√2・dw/(1-w^4)^(1/2)

 これらの置換を行った結果,ファニャーノは

  dt/(1-t^4)^(1/2)=2・dw/(1-w^4)^(1/2)

  t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

であることを見いだします.これに対応する積分間での関係がファニャーノの倍角公式

  2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt

というわけです.これらの公式は2つの曲線:t^2=1−z^4,w^2=1+u^4の間の次数2のランデン変換です.

 ファニャーノはレムニスケート弧長の2等分を与える

  dt/(1-t^4)^(1/2)=2・dw/(1-w^4)^(1/2)

  t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

を見いだしましたが,同時に複素数による楕円積分の例

  dt/(1-t^4)^(1/2)=(1+i)・dw/(1-w^4)^(1/2)

  t^2=2iw^2/(1-w^4)

  sl((1+i)u)=(1+i)sl(u)/(1-sl^4(u))^1/2

も得ています.ηを1の8乗根η=(1+i)/√2として,uをηuで置き換えると曲線t^2=1−z^4上の1±iの虚数乗法の公式が得られます.

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