【３】オイラーの加法定理

　１７５１年，オイラーは逆正弦関数の加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（ｘ（１−ｙ^2)^1/2＋ｙ（１−ｘ^2)^1/2）

との類似に基づいて，レムニスケート積分に対する加法定理

　　Ｇ（ｘ）＋Ｇ（ｙ）＝Ｇ（（ｘ（１−ｙ^4)^1/2＋ｙ（１−ｘ^4)^1/2））／（１＋ｘ^2ｙ^2））

を構成することに成功しています．

　とくに，ｙ＝１の場合，反転公式

　　ｚ→｛（１−ｚ^2）／（１＋ｚ^2）｝^1/2

ｙ＝ｘの場合，倍角公式

　　ｚ→２ｚ（１−ｚ^4）^1/2／（１＋ｚ^4）

を与えるというわけです．

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【４】ファニャーノの変数変換＝ランデン変換

　　f(t)=1/(1-t^2)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

において，ｔ＝２ｖ／（１＋ｖ^2）と置換すると

　　(1-t^2)^(1/2)=(1-v^2)/(1+v^2)

　　dt=2(1-v^2)dv/(1+v^2)^2

より

　　dt/(1-t^2)^(1/2)=2･dv/(1+v^2)

　レムニスケート

　　f(t)=1/(1-t^4)^(1/2)

　　2u=2∫(0,x)f(t)dt

においても類似の置換に導かれて，ｔ^2＝２ｖ^2／（１＋ｖ^4）と置換すると

　　(1-t^4)^(1/2)=(1-v^4)/(1+v^4)

　　2tdt=4v(1-v^4)dv/(1+v^4)^2

より

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=√2･dv/(1+v^4)^(1/2)

　さらに，ｖ^2＝２ｗ^2／（１−ｗ^4）と置換すると

　　(1+v^4)^(1/2)=(1+w^4)/(1-w^4)

　　2vdv=4w(1+w^4)dv/(1-w^4)^2

より

　　dv/(1+v^4)^(1/2)=√2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　これらの置換を行った結果，ファニャーノは

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

であることを見いだします．これに対応する積分間での関係がファニャーノの倍角公式

　　2∫(0,x)f(t)dt=∫(0,2x(1-x^4)^1/2/(1+x^4))f(t)dt

というわけです．これらの公式は２つの曲線：ｔ^2＝１−ｚ^4，ｗ^2＝１＋ｕ^4の間の次数２のランデン変換です．

　ファニャーノはレムニスケート弧長の２等分を与える

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=2･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=4w^2(1-w^4)/(1+w^4)^2

を見いだしましたが，同時に複素数による楕円積分の例

　　dt/(1-t^4)^(1/2)=(1+i)･dw/(1-w^4)^(1/2)

　　t^2=2iw^2/(1-w^4)

　　sl((1+i)u)=(1+i)sl(u)/(1-sl^4(u))^1/2

も得ています．ηを１の８乗根η=(1+i)/√2として，uをηuで置き換えると曲線ｔ^2＝１−ｚ^4上の１±ｉの虚数乗法の公式が得られます．

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